VII. — Définition des fonctions implicites

On apj)elle fonction implicite toute fonction définie par une ou plusieurs équations non résolues; ainsi, si l'on pose

on pourra en général en conclure que r est une fonction de oc, si celte équation admet une solution, et alors y sera une fonction implicite de x.

Si les équations

admettent pour différentes valeurs de x des solutions jKi? j'o? • • • , J>'«5 ces solutions seront en général des fonctions de x dites implicites.

VIII. — Dérivées et différentielles des fonctions implicites définies par une seule équation.

Théorkme. — Soit /{x., y) une fonction continue de x et de y pour les valeurs de ces varictbles voisines de Xq cijKo»

DÉTERMINANTS FONCTIONNELS ET FONCTIONS IMPLICITES. IjS

, , . , î)f c 'H /• IJ '

(iinsi (lue SCS (hriK-ees -j- rm Jx, -j- =^ j ii L cquatioii

supposée satis/aifr pour x ^~- Xq, y=—.r„, cU finira une fonction y implicilr de x. r///i, pour x --=■ Xq^ sera continue et aura une tlcri^'ée bien (léterniinée pourvu quefi{xQ^ j'o) ne soit pas nul.

En eflel, soll /." mie quantité très petite et positive; on aura

0 désignant un nombre compris entre o et i, et, comme fi-^oyj'o) est nul par hvpothèse, on aura

/(^o, Jo — A-) = bfi{^^,yo — fJ^"), de même

fix^,yo — k)-.— kfiixQ,yo — 0' k);

si k est assez petit, /^fx^, j'o 4- 'iA) et /.(xq, j'o — 07.) seront de mêmes signes que /■i{Xii^ j'o), qui n'est pas nul; donc, en vertu des deux formules précédentes, /(xq^ Yq -i- k) elJ{xQ,yo — A) seront de signes contraires. Mais on peut maintenant prendre h assez petit pour que f{xo -^ h, y^ — A) soit de même signe que/(^05j'o — A), et que/(xo-^/^,^î'o-^-A■) soit de même signe que/(^oi >'o -^ A); alors/fa^o-r/ijj'o — A) et /(.ro -r- /^ Vo — A) seront de signes contraires, et il y aura une valeur A,, comprise entre -r k et — A-, telle que

f{xo — h,y» — kx) = o;

donc, à un accroissement h suffisamment petit h de x correspondra un accroissement aussi petit que l'on voudra deji'. Cela posé, en admettant, ce qui est permis maintenant, que h et A" soient infiniment petits, on aura

f{xQ-^h, y^, — k) = o,

ou, en observant que/(xo,jo) = o en vertu de la formule de Taylor,

hfi{x^ -^ fi/i, 7o — OA) — k/i(xo — hh,yo — '>k, = o.

174 cnAPiTRK vn.

On lire de là

faisant tondre h et k vers zéro, si /a (-ï"!)? J'o) n'est pas nul. on a

ce qui démontre le théorème énoneé.

Remauquk. — On aurait pu arriver plus directement au résultat précédent si Ton avait su à l'avance que r avait une dérivée; il suffisait pour cela d'observer que l'équation

a lieu identiquement quand y y est remplacé par sa valeur en X déduite de cette équation même qui sert à le définir; en différentiant alors cette équation identique et en considérant /" comme fonction composée de jc et )', on a

dx ' dy dx '

d'où l'on tire

dx ôx ' c)j''

ce qui s'accorde avec le résultat obtenu tout à l'heure.

JNous n avons pas a examiner ce qui arrive quand j- ou

fiipCo^VQ) est nul, parce q«e -■- ne saurait être nul qu'acci

dentellement; si en effet ^ était toujours nul,/ ne contiendrait pas j', el/= o ne saurait définir une fonction de y; le cas où -^ = o doit être considéré comme un cas limite, et l'on peut dire que j' a alors une dérivée infinie.

IX. — Dérivées et différentielies des fonctions implicites définies par plusieurs équations.

Thûorème. — Soient '^{.r,yi, ...,r,i),y[x,yf, ...,y„).

•!/(jr,),, ..., Vf,) Il fonctions continues de .r, ri,j'2, j„

dctns le i^oisinage des valeurs particulières des variables X = jr", y, ^y\, • ■ - J)'« ='',)? ainsi que leurs dériiées relatives à ces variables; les équations supposées satisfaites pour x = x\yi ^ y\,

(i) cp=o, 7— o, .... Ç> = o,

dé finissent des fonctions y i, y.2, '■■-Jn implicites, mais continues de Jr, possédant des dérivées bien déterminées pour\u que Von n\iit pas

f)( o.y 'il)

Pour démontrer ce théorème, déjà établi dans le cas d'une seule équation, nous admettrons qu'il a lieu pour n — i fonctions définies par n — i équations, et nous retendrons au cas où l'on considère n fonctions définies par n équations. Si alors des n — i dernières équations (i) on tirejKajJKa, .... y„ l^our les porter dans '^ = o,'i deviendra une fonction continue (le .r possédant une dérivée, puisque l'on a admis que )'2, )'3, .... )■„ tirés de /î — i équations étaient fonctions continues de x^ et pour la même raison de >', ; de plus, ces fonctions possèdent des dérivées.

En considérant l'équation cp = o à ce point de vue, la fonction 'ç sera fonction composée de x et de^v, et l'on en déduira la dérivée de y, par le procédé indiqué au paragraphe précédent, c'est-à-dire que l'on diirérentieraç>=r o, et l'on aura

\dx) ■ \OyJ dx "''' les parenthèses indiquant qu'il s'agit de dérivées totales prises