cil A PI tri: VII

en raisaiU varier j^'o, ru, .... La dérivée -v-' ne pourrait cesser d'cxislcr que .*^i Ion avait ( j-^ ) ::= o; or on a

Wi) f^J'i Cr2àyi ' Oy^Oyi Oy^ Oyi'

mais les é(iiiations y i:rz o,. . ., '1/ := o différentiées par rapporl à j'i donnent

~ àfi ' àyi dyi

àyn àyi '

dà , d'\> dy.2

<^yn Oyi '

M- • ^ '^''2 àv:i

1, en éliminant -^ — ' ! ?

'Cl (>/i

donc (— ^ ) ne saurait èlre nul, sans (luoi le déterminant fonc-

tionnel sui\ant serait nul, ce qui est contraire à nos liypothèses.

Quoi qu'il en soit, ce déterminant pourra être accidentellement nul, et ~ sera alors infini, ou indéterminé. dx

L'existence de la dérivée étant établie, on la trouvera comme il suit : on difTérentiera les équations (i), en considérant o, y, . . ., 6 comme des fonctions composées de x identiquement nulles, et alors on aura

di'^''-^,^/^^--

'^dx-^dy,-..

. do .

..-.^^^dy,.-o.

àyn

-^ dx — — dyi ~ . .

\ dx dyx -^^

on en déduil les valeurs de -^ > -.— » •••; ainsi l'on a, par exemple,

U- ~~d(a-,,7,,...,7„) ' d{yi,y., ....y,,)'

En dilTérenliant encore les équations (2), on introduirait les quantités d'-y^, d-j-.j, . . ., d'-}',i et l'on aurait n nouvelles équations pour déterminer ces différentielles en fonction de dj i, d).2, ■ ■■• d^y,,', etc.