DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES
Posons/(r)= F(x -+- z) cl la lormulc (4^ donnera
F{x — z)= F{x)^ zF'{x) — ...
- F''-Hx) H -, R„ /iE,
R„ (Ic'signanl le module maximum de F(^ + ^) quand la variable z conserve un module inférieur à celui qu'elle prend dans la formule précédente, ou, si l'on veut,
R„ désignant le module maximum de F" quand la variable z reste dans un cercle décrit du point x comme centre avec le module de z pour rayon.
En particulier, on a
(•5) Ffr-f- ^■)= F(a-)-f-^Ri£\/2.
Si donc F'(c) est nul dans un cercle décrit du point x comme centre avec un rayon quelconque, R) sera nul et F(^ + z) sera égal à ¥{x), ce que l'on savait. Mais, réciproquement,
Si la dérivée ^'(z) d'une fonction est nulle à V intérieur d'un cercle décrit du point x comme centre avec un rayon /•, la fonction ¥( z) sera constante dans ce cercle.
En effet, R, sera nul et la formule (5) donnera
il résulte de là que deux fonctions monogènes qui ci l'intérieur d'un contour donné ont la même dérivée ne peuvent différer que par une constante, puisque leur différence a sa dérivée toujours nulle.
La formule de Taylor une fois établie et réduite à ses deux premiers termes permettra de retrouver la valeur de la dérivée d'une fonction composée dans le cas où la variable est imaginaire. Il n'v a rien à changer à la démonstration que l'on a faite en supposant la variable réelle, et il
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faul loiijours supposer que les tlcnvécs des fondions composantes sont bien délerniinées.
Il reste à examiner les dérivées des fonctions implicites. Soit z^=x-\-r\/ — I et ?/ = X + Y^/ — 1 une fonction de z définie par l'équation
Cette équation équivaut à deux, équations telles que
où Ton a
de (1) 1 on tire
mais, on a
donc
ôx '~~ d{x, \) ' d(X,Y)'
dj^ -~â(x;y)'- â(x,Yy
si la fonction y est monogène par rapport à it et à c.
dx
f)cp ôX
dx
ày'
ÔX ôx '
d{x, Y) àx ()\ d\ ôx dy 0.\ - d{y,X)- à{X,y)'
d\ ày
donc enfin
On verrait de même que
dX
dY
dx ~
dX dy -
àY
dx
La lonclion X + \J — i \ est donc monogcne. L'existence de sa dérivée étant établie, on la trouvera comme dans le cas où la variable est réelle, lorsque l'on sait que la dérivée existe.
DKS FONCTIONS DE VAUI.VBI,i;S IMAGINAIIIES. I cj3
>J IV. — Différentielles des fonctions de variables imaginaires.
La diflerenlielle d'une variable imaginaire sera le produit de la dérivée de celle fonclion par raccroissemcnl ou différenlicUe de sa variable. La définition de la dérivée d'une fonclion imaginaire ayant été bien précisée, il ne peut v av.iir aucune difficulté pour concevoir la notion des dérivées et des différentielles des différents ordres non plus que la notion de différentielle totale.
!-• — Traite d'Analyse, I.
