IV. — Des calculs que l'on peut effectuer sur les séries

ThûgrIcme I. — Si Von considère les séries converge nt es

C — c -•- Cl -i- ... -h r„ -!-... ,

la série cirant pour ternie général

Un T= a.,1 ZJZ 0,1 ZzZ C,i 7 7...

est convergente et a pour' valeur A Hz B ±: C d= Ku elTet. on a

■^"■ll ^^,\ ^^n •«»■

Si Ton suppose que n augmente indéfiniment, on voit que y u di une limite ('gale à ± A rh B dr C ± . . . , ce qui démontre le tln'orème énoncé.

Tllf:ORIE GÉNl'UALE DES SftniES. O.-

Théorème II. — Si la série

est com'ergente et a pour valeur s,

a «0 -'-- (^ "i -i- • • . '-a u,i -^ . . . sera, convergente et aura pour valeur as. En cfTcl,

Donc, si n augmente indéfiniment, 2, {mi) a une limite égale il a lim 7 u ou à as. c. o. f. d.

Théorî:me III. — Si la série

s — «0 -'■- "1 -'- u-z ~.- . . . -h Un -T- . .

est convergente et a tous ses ternies positifs, si de plus ao, fl,, .. . , a,i, . . . sont des nombres positifs qui ne croissent pas au delà de toute limite,

a(, Ko -.- «1 Ui -i- «2 "2 -: • • • «sr,, Un — ...

sera convergente.

En cfTel, en désignant par A un nombre plus grand que <7|, «2, . . . , ci,i, . . . , cette série a ses termes respectivement plus petits que ceux de la série convergente

qui est aussi à termes positiis.

Abel a démontré que le théorème précédent était encore vrai pour une série convergente quelconque si les nombres a^^, <7,, ...,«2» ••• allaient constamment en décroissant; en elTet, dans cette hypothèse, en posant

(2) ao"o -^ «1 Mi -Î-. . .-- «««,j = t,t,

on a les relations suivantes :

U<i = «oj ''l = •Si — ^o, • • • , Un ^= Sn — S/t- j , . . . ,

28 CM AI' nui; ii.

cl par const'qiiont. on poitiinl ces valeurs dans l\'(|nalion (;>),

tn = OoSt) -r- cil (Sj ^o ^ •-...-!- tt,, {s,,-- S„-i),

ce que l'on peut écrire ainsi :

(3) /,, =(«0 — «l)5o '(Ol — «2)5l -^... f-rt,,s,.,.

Dans cette égalité, les coefficients de .s,,, .f,, ... sont tous positifs, car a^, rt,, .. . vont en décroissant; mais, si 0 désigne une moyenne entre les quantités 5o, s^, . . . , s,i, on aura

^, — 0[(r7o - «i) — («1 — «2)--. .. -H-a/»] = «oO.

Or, 71 augmentant indéfiniment, H conserve une valeur finie; donc //^ conserve une valeur finie. Supposons alors .Çq, s'i, • • • , Sn, • • • positifs (s'il n'en était pas ainsi, on augmenterait convenablement u^)', t„ croît, en vertu de l'équation (3), avec /?, sans devenir infini : il a donc une limite; par suite, la sériera) est convergente. c. q. f. n.

TnÉ0Tii:Mr- IV. — Si les séries

( I ) s — Uo - - «i -- «2 - ... — u,t

(2) t = Vo—Vi — v-x-^- . . . -v,i-~...

sont absolument com-er^^entes, c'est-à-dire si la série des modules de leurs termes est rDnverfiente (p. 20), la série dont le terme général est

est convergente et a pour valeur st.

1" Supposons d'abord les séries ( i ) et (2) à termes positifs; nous aurons

( 1- K„(t'i -î- Vi -!-... -t- Vn)-

Considérons maintenant le produit V // > v. Le terme de ce produit dans lequel la somme des indices est la plus

i;raiulc csl 1 m . Si donc im csl moindre que n ~{- i , ou si m esl le plus j^iand entier contenu dans — — , tous les termes

de > « > e se trouvent compris dans > iv. On a donc

Or, en vertu de régalitc (3),

Mais, si Ton suppose (pie ni et n augmentent indéfinimenl, 7 « > e et > U7 e tendront tous deux, vers st. Alors

^ 4\', (pu reste compris constamment entre ces deux pro-

duits, tendra aussi vers la limite st. Le tli(}or(jme qui nous occupe est donc démontré pour le cas où les séries (i) et (2) sont à termes positifs.

2° Supposons que les séries ( i ),(2) à termes réels ne perdent pas leur convergence quand on rend leurs termes positifs. Considérons d'abord les termes des séries ( i) el (2) en valeur

absolue. Tout ce qui dans l'égalité (3) suit 7 (v a pour li-

mite ZL-ro, car >//><' et ^ w ont même limite, d ajîres

ce (jue nous venons de voir tout à l'heure. Il en sera encore de même «yb/'^/ori quand on aura rendu aux termes des séries ( I ) et (2) leurs signes respectifs. Par conséquent, si dans l'égalité (3) nous supposons que n augmente indéfiniment, il vient, en passant aux limites,

st = Jim > ir,

ce qui démontre que le théorème est encore applicable dans le cas où les séries ne perdent pas leur convergence quand on rend leurs termes positils.

3o cn.vrnitE ii.

3° Considérons enfin le cas où les séries (i) et (2) seraient à termes imaginaires. Nous supposerons les séries des modules de leurs termes convergentes, et nous poserons en général

u„ = p,i (cos T-n -i- \/— I sin a„), Vn = qn (<^os;3„ -f- V -- i sin^,,')-

Alors, en vertu de ce que nous avons démontré dans le premier cas, la différence

> ^, X q—^ pq =^piqn —Pl{qn-i — qn)—-- ■

-+-/>« {qi~-qi — --- -^ qn)

aura pour limite z '-ro ; il en sera de même a forliori de la quantité

/),(cosai ~ v'— I sin a,)^„(cos a,j -i- </— 1 sina„)

— (/-ocos a2-^ V''— I sin a,) [^„, (cos a„i -r- /— i sina„i)

~ q,i(cosx,t -f- /— I sina„)]

qui n'est autre chose que ^^i r- i- //^ (t^/,, + T//) -f- — L'égalité (3), en passant aux limites, lournira donc encore

st=y tv, et le théorème est encore ^ rai dans ce dernier

cas.