CHANGEMENT DE VARIABLES
I. — Changement de variable dans les fonctions d'une seule variable indépendante.
Le problème appelé cliangemeul de variable a pour but, étant donnée une expression contenant des fondions, leurs variables et leurs dérivées, de calculer la même expression à l'aide de nouvelles fonctions, de nouvelles variables et des dérivées de ces nouvelles fonctions, les nouvelles fonctions et les nouvelles variables étant liées aux anciennes par le mo^en dun nombre suffisant d'équations données.
On a souvent besoin de résoudre ce problème en Géométrie quand, ayant l'expression dune ligne en coordonnées rectangulaires, par exemple, on veut en obtenir l'expression dans un autre système de coordonnées rectilignes ou polaires. Mais le Calcul intégral surtout nous fournira de nombreux exemples de cbangement de variable.
Nous considérerons d'abord le cas où il n'existe qu'une seule variable indépendante. Dans ce cas, nous allons voir que Ion peut calculer les dérivées des anciennes fonctions à l'aide des nouvelles, sans qu'il soit nécessaire de connaître les relations qui lient les fonctions à leurs variables, de sorte qu'il suffira d'avoir l'expression des anciennes fonctions et des anciennes variables en fonction des nouvelles.
Pour résoudre la question qui nous occupe, désignons j)ar X Tancienne variable et par r l'ancienne fonction (ou l'une des anciennes fonctions), laissons la nouvelle variable indéterminée, afin de nous réserver la faculté de la clioisir à la fin du calcul, et désignons-la par /; représentons par un ù
CHANGEMENT DE VARIAHLES. IQ.)
une (lilTcrcnliellc prise en regardant / comme varialjle indépendante, en réservant le d pour le cas où x est la variable indépendante.
Je dis que l'on aura
'Il = '!L.
dx dx
Cette proposition a déjà été établie, mais, en raison de son importance, nous la démontrerons de nouveau. On a
dy - ' ' ,' ' . '
v' clt Or^'^ ; r^est égal à*-î— i-; le numérateur et le dénominateur
de cette fraction sont respectivement égaux à dy et dx\ on
a donc bien
dx dx
Mais on n'a pas
c?- )• fT-y dx'^ dx- '
en effet, pour calculer -i-r;? différentions par rapport à x les
deux membres de (2); la dérivée du premier membre est égale à-pj» celle du second s'obtiendra en prenant sa dérivée relative à / et en la multipliant par -j-, et cela en vertu du théorème des fonctions de fonctions; ainsi
li y \ Ox J
(Py \0x] dt^ ^ ' dx^ ~ 01 dx '
mais on a (p. 69), d'après la règle de la différentiation d'un
quotient,
/ 1) ) • , ()-y dx — d-xôy \ôxj ~ ôx^^ '
de plus, en vertu de (2), -j- = ,— ; donc (3) devient
d-y d'-y dx — d- x dy dt dx"^ Ot Ox- dx
196 chapitiik IX.
ou, ri''duclions faites,
dx^ dx^
Pour obtenir ^-^> on difTérenticra le premier membre de
dx^ '
cette nouvelle équation par rapport à j:;; il faudra alors différentier aussi le second par rapport à x, ou, ce qui revient au
même, par rapporta /, en multipliant le résultat par -j- — 'j~>
on aura ainsi
^/ d-y àx — d^xôy
d^r \ àx3 / dt
Ix^ ~ di 'ôx''
ou, réduclions faites,
d^y iPy dx* — ù^y rT- x dr^ — 3 ùx^ t)^ .r f)^ ;>■ + 3 dr^ d"- x"- <)y <)t 'dx^ ^ dx^ôt Ox'
c'est-à-dire
f/3 y o^y dx'^ — d^y d^ x ôx — 3 dx (P x (T-y -^ 3 d"- .r^ dy ^^^ 'dx^^^ ' dx^
L'expression de -1-^ s'obtiendrait en diffcrcntiant encore par
rapport à x, et ainsi de suite.
Les formules (2), (4), (5) résolvent le problème que nous
dy d^y ^ 1 1 ' r i • 1
avions en vue, car -~-, ——•, • • • sont calcules en (onction de
dx, Oy, ô-x, ô-y, ..., lesquels s'exprimeront en fonction des nouvelles variables quand on connaîtra x et j'en fonction de ces variables.
Pour bien faire comprendre l'esprit de la méthode, nous l'appliquerons à un exemple : supposons que l'on ait
1. 1 , • Il ffv d'^y c .• 1 '^" . I et f[ue 1 on désire calculer-^ et -r^ en lonclion de — et de
-— -: on déduira de (6)
ôx = Ou -t- dv, Oy = Ou — Ov, O'-x = 0-u -{- 0^ V, O'^y = 0- u — 0'^ v.
CIIANGKMEXT 1)1- VARIABLES. 1 97
Los formules (2) et (4) donneront
dv au — dv
il)
dx du -+- dv d\y {fPu — <r-v){du^dv) — {d'^u^()'^v){du — dv)
d.r- i^Ou-hOv)*
on
d\v à^' u f)v — (T- V du ^^' 17^ " (^ôu + ôvf
Jusqu'ici la variable indépcndanle / est restée indétcrminre ; si l'on veut que c soit variable indépendante, on fera, dans(-) et (8), d-p ^ o, et l'on aura (il ne faut pas oublier que la variable indépendante est celle pour laquelle la différentielle est constante, et la différentielle seconde nidle)
dy du — dv f du \ / du
dx du -h dv \dv / ' \dv
d^y d^udv d'^u (du
dx- ( du -\- dv }•* dv- ' \dv
Un calculateur non prévenu pourrait déduire des formules (6)
dx = du -r- dv, d-y = d- u — d-v, et, par suite,
dx^ ~ {du -f- dvf
Cette formule est parfaitement exacte et la suivante aussi,
d'^y (d-u \ / du \- d-v dx- ~ \d-v / \dv / dv-
mais elles ne nous apprennent rien, et l'on ne peut pas y faire c^-V = o, puisque x est toujours variable indépendante, il v a parfois avantage à conserver, dans les calculs, des formides où la variable indépendante reste arbitraire et n'est pas spécifiée; ces calculs gagnent en élégance et en symétrie, mais il y a alors une remarque curieuse à faire, c'est que les formules ne peuvent pas affecter certaines formes; ainsi, par exemple, l'expression
d-y dx -\- d- X dy dx"^
ne peut pas exister isolément et représenter, quelle que soit la variable indépendante, une seule et même quantité. En effet, si l'on suppose x variable indépendante, celte expression devient — '. ' = -7^,: si l'on change alors de variable et dx^ dx- °
si l'on reprend l'ancienne variable indépendante arbitraire,
d-r dx — d-.r dv . ^ ^. -j .•
on trouve — = -7— ^ — > qui ne peut pas être identique avec
l'expression proposée; celle-ci ne saurait donc exister pour une variable indépendante quelconque.
De là un moyen de vérifier les calculs, analogue à celui que fournit la loi de l'homogénéité en Géométrie; on voit en effet que, si aucune variable de la question que l'on traite n'a été prise pour variable indépendante, les formules affecteront une forme spéciale, telle que, quand on y fera d'-x^ d^x, ... ^ o, par exemple, on devra retomber sur ces formules en faisant le changement de variable le plus général. Cherchons encore ce que devient l'expression
dv que l'on rencontre fréquemment en Géométrie, et où j' = —■>
Il '^'^ ] c ■.
y =^ "T^' l^^'^'^ on V lait
(10) j' = /-cosO, v = /'sin6,
et que l'on prend 9 pour variable indépendante; il faut alors supposer d'-^ = o.
Pour faire le changement de variable, on doit d'abord exprimer^' et j^' au moyen des différentielles dx,dy^d-x^ d-y prises par rapport à une variable indépendante quelconque, qui sera plus tard B; les formules (2) et (4) donnent
dy „ d- ^ ' dx — d-xdv
dx " dx^
et nous écrivons le d en italique parce qu'il n'v a plus de confusion possible : R devient alors
d^j dx — d- X dy
CHANGEMENT DE VARIABLES. r 99
Les rormiiles (lo) donnent, en supposant (/-O = o,
dx = dr cos 0 — r sin 0 ^/O,
dy = dr sin 0 -^ /■ cosO c/0, d^x = rfV cosÔ — 2 drdO sinO — /• cosO f/O^, f/2^- = f/2r sinO -t- 2 <^/-c^0 cosO — r sinO t/O^;
et, en portant ces valeurs dans (i i), on trouve
rdhdH — id/'d^i — r^d'P
Nous ferons ee calcul d'une manière plus simple dans la théorie géométrique de la courbure.
II. - Du changement des variables indépendantes dans une fonction de plusieurs variables.
Le problème à résoudre est celui-ci :
Etant données la fonction de X\^ x^, • • ., x,/^
Il =/(Xi, J-o, .... X,i)
et une suite de relations, telles que
(i) 'i(\ri,j"2, r„; Vi-,}'!, .)'«) = "-
permettant de calculer les x en fonction des r, ou les yen fonction des x, relations au nombre de n, on pourra considérer u comme une fonction des y et poser
Il = F(j-,, Vî, .... ^v„);
on propose de calculer les dérivées de u relatives aux variables X,, X-2T • ■ • , x,i en fonction des dérivées de u relatives aux variables r, , r,, .... )■„.
Nous dénoterons les premières dérivées (relatives àx, . . . ,x„) avec la caractéristique 0', nous dénoterons les autres (relatives à >', ,v.,, . . . , )',/) avec la caractéristique d; celte manière de distinguer les deux espèces de dérivées est tout à fait néces-
200 CIlAriTHK I\.
sairc quand, parmi les variables j-, il y en a qui figurent dans
. , . „ du du
là suite .r,, .ro, . . ., .r,,, et nous verrons bientôt que -^ ^^ ~u.
sont en général distincts.
Cela posé, on peut regarder u eomme une fonction composée dejT/; en eiret, «^F(j',, Vo, ...,)■„) et r,,jK27 •••jj^'// sont fonctions de jr,, Xo, . . ., x,i et en particulier de xi; si donc on différentie a comme une fonction composée, en laissant les X constants, à l'exception de Xi, on aura
au du dj'i du dj2 du dy,i
ôxi ~ dvi àxi dVi dx, ■ ■ ■ c/j',i ùxi
Cette formule résout la question pour le premier ordre; -r—
est calculé en fonction de -r- ■> •••j -i— ■> c^^' l^s dérivées
dyi djn
—-^> -r^ 1 ' ■ ■ se déduisent des relations (i). oxi axi ^ '
Il y a parfois avantage à procéder différemment. En considérant M = F(^,, . . .^Xn) comme fonction composée dejK/,
on a
du du dxi du dxi dy'i àxi dj'i ÔX2 dji
Si l'on faiti= i , 2, 3, ...,/?, on a /i équations du pre-
^ , du du ,, ,1
mier degré en - — > - — , • • - que l on pourra résoudre par rap-
port à ces inconnues. Cette méthode sera avantageuse quand les X seront donnés explicitement en fonction des )'. La première méthode, au contraire, devra être préférée quand les y seront donnés en fonction des x.
Je passe maintenant au calcul des dérivées - — ; — en fonc-
A OXi dXj
tion des dérivées -, — ; — Reijrenons la formule (2) dfidyj J
du du dfi du dy„
dxi ~~ dyi dxi ' ' " ' cly,i dxi
Chaque terme du second membre peut être considéré comme une fonction soit simple, soit composée, de Xj par les j'; en différentiant alors par rapport à Xj et en écrivant, pour plus
cil AN GEMI' NT DE VARIABLES. 501
de clarlû, dans le second membre, sur une même ligne, les dérivées de chaque terme de (2), nous aurons
')-// (l- H f)yy ùyx d- u i)y\ ()yn ^ du d'^ji
Oxiôxj ~ dyi ôXi ôjj '" (O'idjn OxiOxj dji ()Xi()xj
d-u dy,, àyx d-u dvn ày^ du^ O'-yn
' dy,i dyi dzv dx} '" dy% Oxi ôxj dy,, àXi ôxj
Cette formule résout la question pour le second ordre, et
ri- V ■
les dérivées — '-^-^ se déduiront des formules (i). On pourrait ôXjOxk
aussi suivre une méthode analogue à la seconde, que nous avons donnée pour le premier ordre. Nous ne pousserons pas plus loin celle théorie qui, pour les ordres suivants, donnerail des formules de plus en plus compliquées. Passons aux applications.
III. — Première application des théories précédentes. Les fonctions isotropes de Cauchy.
Pour bien faire comprendre les théories exposées au paragraphe précédent, nous ne saurions mieux faire que de les appliquer aune théorie développée par Cauchy à propos de ses travaux sur les vibrations de l'éther {Nouveaux Exercices).
Cauchy appelle fonction isotrope une expression qui ne change ni de forme ni de valeur, quand on fait une transformation de coordonnées en passant d'axes rectangulaires à d'autres axes également rectangulaires, sans changer d'ongine. Les formules de transformation en question sont
S.r= «; -{- br^ -^ c'i, ; = ax -.-a'y-+- a"z. y = o'ï -1- b'r^ -i- c"C, r, = bx^ b'y-^ b"z, 1 ;: = a"ç -H ^"r, ~ c"Z, ^ = ex -i- c'y -i- c" z.
Entre les neuf cosinus a, b, c; a' , h' , c ; a" , b"^ c" , il existe des relations bien connues dont nous ferons usage, mais qu'il est inutile d'écrire.
Cela posé, considérons l'expression
du\ 2 / du \ '■
(]ue Lamé appelle le paranièti-e diJJ'érenlicl du premier ordre de la fonction u de x,v, z; il est facile de \oir que cette fonction est isotrope. Faisons, en eflet, le chanj^enient de variable (i), nous aurons
du
du dl du dr, du dl
dx
dl dx dr^ Ox d^ dx'
mais des formules (i), résolues par rapport à ç, /, , w, on tire
donc
dx
= rt,
dx dx
1 du i dx
du , du du dq d-q d^
] du
du j, du , du d\ di] d^
1 du
du ,,, du „ du -7f -\-0 — -\-c --•
d'r ,>rj d^
En élevant ces formules au carré, en les ajoutant et en ayant égard aux relations
«--^ «'--7- «'- = I, ab -^ a' b' — a" b" = 0, ..., on trouve
[J:?) ^\dj-) ^\Tz) ^l,^/ '^[d^rj '^[dl) '
la fonction U| est donc isotrope.
Considérons encore l'expression
- ~ dx^ "^ dy^ ^ dz^ '
que Lamé a rencontrée souvent dans ses recherches de Physique mathématique et à laquelle il a donné le nom de paramètre différenUel du second ordre de la fonction //.
Effectuons le même changement de variable que tout à
CHANGEMENT D K Y.vniABLKS. 203
,,, , rp 1 1' I o 1 r '^" '^" '^" 1
1 liciirc; acelellet, les lorinulcs ( J) donnant -r-' t"' t" ' cal- ' ' ^ ^ ôx oy Oz
(liions — T' et' pour cela, dilTérenlions la première de ces Ox- I ' 1
formules (3) par rapport à .r ; nous aurons
<) dx
ou bien, en remplaçant ;r"' y^' y^ P^'' leurs valeurs a, A, r,
<>• H , '^- u , , ()- jt d^u , à- H i)- Il , d- u
= a- h b- —— — c- -^ -T- 2 uc - — ■ — ~ 1 ca - — ^ — r- 1 ab
Ox- Ox- Oy- Oz- ' OyOz OzOx OxOy
Les valeurs de — -, -r— r s'en déduisent en accentuant une oy^ dz^-
fois et deux fois les lettres r/, b, c. En ajoutant les formules
ainsi obtenues avec celle-ci et en ayant égard aux relations
a--r- a--\- a"-^ \^ ab -\- a' b' -{- a!' b" ^ o, . . . , on trouve
