u 0- u 0- Il 0- Il 0- u à- u
et la fonction Uo est isotrope comme U,.
Cauchy a indiqué le moyen de former toutes les fonctions isotropes; nous nous bornerons ici à en signaler quelquesunes, ce qui constituera toute une série d'exercices sur le changement de variable.
.r, r, :; et .r', y', z' étant les coordonnées de deux points de l'espace, les fonctions suivantes sont isotropes :
x^-^y'^-hz'-, xx'-^yy'^zz';
, Ou , Ou , Ou Ou du Ou
Ou Ou Ou Ou Ou Ou 0- u 0- u 0" u
Ox Ox' Oy Oy' Oz Oz' Ox Ox' Oy Oy' ' Oz Oz' '
d'ailleurs, en examinant avec attention ces formules, le lecteur poun-a bientôt écrire une infinité d'autres fonctions isotropes.
30 4 t:ii.vriTiiE
IV. — Changement de variable dans le cas où l'on change à la fois les fonctions et les variables indépendantes.
Le problème du cliangcmenl de variable considéré dans toute sa généralité peut s'énoncer ainsi :
Etant données m + n relations
entre m fonctions y t^ Vo, ...^y,nde n variables x,, x.,, ..., x„, et m autres /onctions r, ,, y,.,, . . ., r,m de n nouvelles variables ç,, ;o, ..., ç„, calculer les dérivées des r par /apport aux x en fonction des dérivées des y, prises par rapport aux ^, et vice versa.
Ce problème, comme on va le voir, peut se résoudre sans qu'il soit nécessaire de connaître les relations qui lient les )' aux X. Au fond, il coïncide avec un problème déjà résolu, celui qui a pour but de faire connaître les dérivées d'une fonction implicite. En effet, les équations (i) peuvent être considérées comme définissant m + n fonctions implicites de J^i, JCo, . . ., jc„, savoir ^,, r,, . . ., ;,, et j-,, jio, . ..,j-,„, les r, étant des fonctions des ç dont on peut supposer les dérivées données. Ce que l'on veut, ce sont les dérivées des j-; ce sont les seules que l'on calculera; il faudra éliminer celles des \.
Ainsi comprise, la question est résolue par ce qui a été dit plus haut; on différentiera les m -\- n équations (i) par rapport à .r,, x-^, . . ., Xa et'l'on obtiendra, en particulier, en difrérentiant/,= o par rapport à Xj,
On aura (m-^n)n équations pareilles à celle-ci, donnant les mn quantités j-^ et les n- quantités -f^; ces n- quantités n ont pas besoin d'être calculées : on pourra les éliminer, et
CIlANGE.MtNT I)i: VA m A BLE S. 205
l'on aura les rcsullals en fonclion des dérivées des -j.- et des dérivées partielles des y dont on j)Ourra éliminer les x et les y au moven des formules (i).
Si Ton difFérenlie de nouveau les équations (2) par rapport à X,, x-i^ . . ., .r«, on introduit les dérivées secondes des r, par rapport aux ç, et l'on peut calculer les dérivées secondes des ; et des j' par rapport aux .r; comme on n'a pas besoin des dérivées des ^, on les éliminera pour ne calculer que celles des^', et ainsi de suite.
Le changement de variables, dans le cas général, conduit à des calculs parfois inextricables; il convient de n'en user que lorsque l'on y est contraint. Nous allons nous borner à traiter deux exemples très simples pour faire bien saisir l'esprit de la méthode.
i'^ Etant données les équations
i~r = a ; -r- 6 T, -4- c "Ç, Il y . 1-1' If V
1 1 1 , ' • > '^z dz 0-z 0- z-
calculer les deruees p ^ -— , a =z --, /• =^ - — , s^
Ox -' dj Ox- OxOy
t = —-r en fonction des dernees p = -i, a = -^, /■ ^ — -■, Oy- '' ^ Oz ■' àr, 0^-
OK ,, ÔK ,-, ■ j ''
S = -jr-jr^ l = — TÎ o^^ suppose qu il existe entre les quantités a, b, Cj ... les relations qui lient entre eux les neuf cosinus d'une transformation de coordonnées.
DifTérentions les équations données (3) par rapporta ç et r,, en considérant :; comme fonction composée de ; et 7, par x et )■ ; nous aurons
Ox , -=a + cp,
àr
Or,
cq
dx Ov
Or Or " Or, ~^^'or,~
2o6 CHAPITRE IX,
,,. . t).r dy àx dy , SI, cnlro CCS six cqualions, on climine -rf > -rr» -^ > -f- dont on ' 1 ' t', yç "''( "■'"i
n'a pas besoin, on trouve
on' -^ 6«' -i- c a'/)' -h- b' g' -h c'
(5) p=-^, TTT-l 7,' q^-ir-, TT^^^ 7,-
Passons au calcul des dérivées secondes. La règle générale nous apprend qu'il faut différenlier une seconde fois les formules (^3), ce qui fournit neuf équations nouvelles. On observera qu'on les a déjà différenliées une fois, ce qui a fourni les formules (4); il suffira donc de dilïérentier celles-ci par rapport à ^ et T, , ce qui, en apparence, fournit douze équations; mais il faut remarquer qu'une même équation peut être fournie
deux, fois; ainsi celle qui a pour premier membre — — ^ peut être obtenue en différentiant par rapport à r^ celle qui a pour
premier membre -r^-, ou par rapport à ^ celle qui a pour pre-
, ôx mier membre - •
rrr,
Entre les neuf équations clislincles que Ion obtient en différentiant (4), et qui introduiront les inconnues nouvelles ;•,
•^> ^ -TVT' 1—:?' ^-^' 377' 3-^' -TT' O" éliminera les six der-
nières et l'on aura /", .9, / en fonction de /■', .v', t'.
Mais, au lieu de recourir aux équations (4), on peut dif-
férentier les équations (5), qui en sont des conséquences et
dx . ■ ...
dont les quantités -){'••• ontété éliminées, cequi n'introduira
pas les inconnues nouvelles —j:; ; •••; le calcul sera ainsi un
peu plus simple et l'on aura, en différentiant par rapport à ç, la première équation (5),
dx dy ( nb" — ba"){ r q' — s' p')-^ r'( ac" — ca" ) — s'( br" — cb") 'ôl àl" {a"p' -^ b"q' -^ c"y-
011 bien, en avant égard aux relations l>' c" — c'b"=-a, b" c — cb" ^ a\ ....
dx dy c'is'p' — r' q'\ — s' a' -h- i-' b'
p i g -il- =^ i £ C ,
fJl ■ d^ {a"p'^ b"q' -^ c")-
