CHANGEMENT DE VARIABLES. 2O

Cl de mcinc, en difTcrcnlianl par rapport à r,,

dx dv c'(t'p' — s'q') — t'a'-^s'b'

Or, Or, {a" p' — b" q' -^ c" )'-

On pcul se contenter de dlfTércntier une fois la seconde équation (5); toutefois, en diflcrentiant par rapporta ç et à r,, on trouve

()x dy cir'q' — s' p' ) -r- s a — r' b

^~ôl^ 'ô\ ~ {a" p' -\- b" q' -\- c"f ' ÔT dv c(sq' — tp')-i-t'a — s' b

Or, ' Or, {^a" p' -\- b" q' -^ c" f- '

trois de ces quatre formules donneront /•, s, t quand on v

, , Ot Or Or Ov , , , ,,

aura rcniniace — r^ -r ; — ^ — par leurs valeurs ( 4)-

• 0' <)' Or. Or 1 ^ '^

Rkmauqve. — On aurait pu diriger les calculs autrement et différentier les équations (3) par rapport à ût et à ) ', ce qui aurait donné

O.v Ox ' ■' Ox -' Ox

,,. . , . O''- 0"' Or^ <)r

en eJiinmant entre ces équations -r^i --^y — 5 ^' on aurait eu 1 Ox Oy Ox Oy

des relations entre />, ^, />', q' qui auraient permis de calculer deux de ces quantités en fonction des deux autres.

En différentiant une seconde fois par rapport à r et 1', on aurait trouvé d'autres relations donnant /•, 5, t en fonction de //. q' . /■', .?', /'

2" Elanl données les relations

I a" = /• sinO cos-!/, ( 0 I • y = /• si II 0 i\wl.

\ z = /-co«0,

qid permettent de transformer les coordonnées ordinaires X. y, z d'un point en coordonnées polaires r, 0, •}, on propose de calculer les dérivées — = />. — ^ r/, -^ = /•. ' Ox ^ Or -' Ox-

oo8 CIIAPITUE 1\.

=5, -; — ^ t, . ... en onction de r. 'J, o et cie -t.,

()xOy ' dy^ ' ./ ' ' . j\)

Conformément à la mélliode qnc nous venons d'exposer, difTércnllons (G) par rapport à 0 et 6 ; nous aurons

().V '^/" • A 1 Al

— r = , sinO coso -i- /'CosO coso,

Jj- f^/' • A I • ft • I

— - =— pSinOcoso — /• ?Mi(J sinO;, ')k ()r . . . , A • I

— = — 7- sinO siii'L - /• sin 0 cos'!^,

f)j" dy àr ,,

on lire de là, en éliminant ^> -b:? tt ^t tt' l^s valeurs sui-

' oxi 0^ d'h o<J^

vantes dey? et ^ .'

( Dp = r ^T- sin6 cosO cos'!/ — r —r sin-!/ — /--sin-O cos'l/,

ou

Dor = /'-r sinO cosO sin-i + r — r cos 6 — /-^sin^O sin'V \ -' du ' d'I/

Pour obtenir les dérivées secondes de z, on peut difTércnlier

les équations (7) par rapport à 0 et '}; les premiers membres

deviennent

ÔV> „/ ôr ôy\

'7 + D(/^-^Jôj;

niANC. EMK NT DE VARIABLES. 209

, ().r ÙT f)y ily , , , r, ,

en V fcmi^larant -^ > -tt-j "^ el -jy par leurs valeurs (.5), cl p,

q par leuis valeurs (7), on aura des équations permettant (le calculer /•, 5, f ('). Il y aura, si l'on veut, une ccjuation rentrant dans celle-ci en différentiant la seconde formule (4) par rapport à y.

Il serait difficile de choisir des applications plus simples du cas où l'on change à la fois la l'onction et les variables indépendantes. On voit que les calculs, théoriquement fort simples, conduisent à des résultats compliqués dès que l'on dépasse le premier ordre; aussi le changement de variable doit-il être évité quand cela est possible.