V. — Autre méthode pour le changement de variable

On a proposé une autre méthode pour le changement de variable; elle ne diffère pas au fond de celle que nous venons «l'indiquer, mais elle présente quelquefois des avantages dans les applications.

Elle consiste à identifier deux expressions de la différentielle de la fonction que l'on soumet au changement de variable.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on veuille calculer

Jes dérivées -— » -— en lonction des dérivées -^, ~^: x, y, z-

étant liés à ^, Tj, ^ par trois équations.

On écrira d'abord

7 ^^ F dz ^ < I ) dz= - dx — ■— dy;

ôx dy -^

d'un autre côté, on a aussi

dz

z dz dX,\ ,, /dz dz c)^\ ^

(') La Icllrc /• désigne ici à la fois le rayon vecteur cl la dérivée 1

dxmais il n'y a pas de confusion possiljje.

2tO CHAPITRE IX.

SI, dans (i), on remplace dx et dy par leurs valeurs, on a

OU

f ùx ,^ dx , àx \ ()z /())' y ôy <b' jy\

(^ ^^^ -^ 5^ ^^' -^ cT^ ^^ j ^- c^r (^ '^' "^ 4 ^■'^ ''" '^rv

dz [/dx dx di:\ „ /dx dx rjrx , 1

identifiant cette valeur de dz avec (2), on a

dz dz d^ dz rdx ^ ^1 ^ f^T ^ ^1 ^-^dC^a^^L^^ '^ ài; d^i ' dyld'^^ dZ à^\

dz dz dl:^ dy\ dZ, dr^

àzrdx dx d^i dj l(>.y ^dy ^1 .

~dildri^dti dTi]'^ dy \'&r^ ' 'dX, dr^ J '

,, , ,, . dz dz d^ àt, c r 1 i

d ou 1 on lire -v- et t- ou -^-, 3^ en fonction les uns des

dx dy aÇ dr,

autres.

La même méthode s'applique aux dérivées secondes : on peut calculer d'-z de deux manières. Ainsi

d'^z d^z , , f^-- , „ àz ,, dz „

d-^z = -—- dx"- -f-2 - — T- dx dy — —— dy"- -~-^ d^x -\- - d^y, dx-^ dxdy "^ dy^ "^ dx dr^

mais

f>-^ ,y. à-z ,y . d-z j . d"-z dz

Ces deux expressions peuvent se ramener toutes deux à la

forme

P f/^2 ^ 2 Q dl dt, ^r- W dn\

et, en les identifiant, ou a des équations d'où Ton pourra

dK dK d^l ,. . 1 d^z d"-z d'-z

tirer -;—"-» -r^, ^-^ en fonction de - — pj y^,? -.--,1 ou vice d^Or, dl- dr/^ dxdy dx- ày'-

versa, —

CHANGEMENT DE VAUIAIJLES.

VI. Quelques changements de variables effectués au moyen d'artifices particuliers.

Trainsformatioin de Legendue. — On pose u = px -^ qy — z,

dz dz <r-z <r-z <Pz

o.r Oy or- Ox Oy oy-

et l'on demande de calculer p, </, /•, 5, t en prenant pour fonction u et pour variables p, q.

On a

du = p dx -^ q dy — dz .- x dp -{- y dq

OU, en vcrlu de dz ^=^ p dx -r ^ dy^

du = X dp -hy dq ;

on en déduil

du du

X — --1 y = - . dp -^ dq

Des formules

dp = /• dx — s dy,

dq =^ s dx -7- t dy, on lire

^^^tdp-sdq^ ^^^^r-dq-sdp donc

, ' dy

rt — A- ^ rt — i-

àx d'^u t

dp dp- rt — 5-

dx dy d'-a — 5

dq dp ôp Oq rt — 5-

dy d'^u r

dq dq- rt — s'-'

d'où l'on peut réciproquement tirer ;•, s, t. On a

en posant

-r — -0 = r't' — s"^, rt — s-

dp^ ~ ' 'Oq^i ^' ' ~0p~d7ji ~ *

donc

/■ = r-, 5 -ï = -7:: r~. ' t ^= Tl Tw

Étant donnés p = \;]r 7 = £' '* = ;â7^ ' =^ c)^i)> ^'

t = —, on demande de calculer les dérà'ées dey relatives à X et z.

dz

dx —

(i(fy^

dy-~

dz

dr-

ùy dz

dy dx

On a d'où

donc

En second lieu, on a

d-z — pd-T -f- q d-y -1- r dr- -^isdx dy -^ t dy-,

ou, si l'on fait d-z = o, d-x = 0, dy = -^ — - dx^

o = q d-2y -rdx-^-'^sdr(^'^-P^dr)-^t {^'^ - ^^ dxf . Résolvant par rapport à d-y^ on en conclut

-.sP--

(Py

ôxôz

ôz^

VII. — Sur quelques formules destinées à simplifier le changement

de variables.

Soient Xf, X.2, ..., ^n et 7,, y.,, 7» deux systèmes de

variables liées entre elles par «équations; posons, en général,

dy, ÔTj

cil AN ci: ME NT 1) K Y AIMABLE S. 2l3

Il csl facile de voir- (|iic Idii na pas Hijbij -—- i; mais, enlre les <//y cl les A,y, il existe une série de relations (jue nous allons faire connaître. On peut considérer j', comme fonction des )„, piiis<|iril est fonction des X et que ceux-ci sont fonction des y. Le théorème des fonctions composées donne

^ ou o == -^ — -~ ^" ^2 ^ !- -^-^ ^ . i)yj Oj\ Oyj ôxi Oyj Ox,i Oyj

z>\ j yi et SI i =^j ,

ôyi ^ dxi Oyi ôx, Oyi •• oxn dyi '

ces formules peuvent s'écrire

(2) (lii bxj a^bij ... -ciinhnj^

On a, dune façon analoj^ue,

( ;i ) hjx aij - bri a-ij - ... — bin a,ij =

(o si i j), (i si i^j).

0 si i ^y,

1 si i = j.

Telles sont les relations qui lient les dérivées des j' aux dérivées des .r; nous [poserons

P = S r^ a,., «.,2 • ■ • ttnn, Q = s =1 6i, bii ... b,ini

et nous aurons PQ = i ; cela résulte de la formule

<^(.Ki..r2> •••,.>'«) à{x^,0Ci. . . .,jr„) d(3",,.r2, ...,.r„) t*(7i,72, .■•,7«)

Les formules précédentes ont été données pour la première fois par Cauchy. Nous supposerons, dans ce qui va suivre,

( 4 ) a, 1 «yi - «,2 «y» — • • • — «/« cijn = O ( i)our i ^j ),

(5) aft -f- a,', — . . . — al, = hj.

Ce cas se présente souvent dans les applications; on a alors

2l4 CHAPITREIX.

D'un autre côlc,

j, (Iyi = «11 ^''i Oiidxi — . . .-^ aindx,,,

' c/y„ = a„\d.Ti — a„2 dx^ -r- . . . -^ a„„ dx,i ;

/ dxx = 611^)1— bi^dy,^...^bxndyn,

l dx,t = b„idri — b„îdj:2~. . . — b„ndj'„.

Si, pour abréger, on pose

!ai = «11?! — a2i?2 — ..•-^««1?/;, 3C^ =^ «l» Pl — fltof) pg -T- . . . -f- Cl/i') ~>it^ 1„ = Uin Ji ^- a^ii p^-i- • . .-i- d/iri p«!

on constate qu'en vertu de (4) et (5) on a

(10) aï-^a^-^...— a;, = /q ;3^ -^ A^ ^^ ^. . .-f- /i| p;,;

mais de (9) on tire

Aj 3i = aiiXi-;- aia^o-T-. . .-T- ai„a„

hl 82 = «21 ai -+- «22^2-^- • '-^ Oîn'^ll:

Portant ces valeurs dans (10), on trouve