H TT

ho

ce qui donne, en égalant de part et d'autre les coeifîcients des mêmes puissances et des mêmes produits des a,

(il) «j/«iy — aattij — . . .- a„ia„j= o,

ni h-, h;,

si alors on multiplie la première équation (7) par -—; a,i, la

seconde par — ^ «o,, ... et si l'on ajoute, on a — ï f^Vi -■ -, <^Y=> --•••= dxi.

CHANGEMENT DE VARIABLES. 9a5

el, en comparant celte lormule avec (8),

(ij) -Jl^bij ou aji-h)bij.

Les équations (1) et (5) donnent

( i4) f^ïjbu— l>îibij — - ■ ."bnibnj— o,

(i5) bij— blj — ...-{- bf,j^- hjK

Nous poserons

(17) Ao « = — j -; -, -;-... -r- — ^ >

et nous nous proposerons de calculer A, w et \-,ii en fonction des >'. Nous avons

/ du Ou du du

dxt dyi dy^ dy^

du du du du

àxn dyi dy2 dy^

Elevons au carré et ajoutons, en ayant égard à (4) et (5); nous obtiendrons

,, /du \i ,0/ OuY ,, / du \2

et, en dilTérentiant (18),

d-u d^ u , d-u du. da^

d-u d-u. , d^u du da<i\

dr\ dy\ -* c'7ic>>'2 ^Y^ ^^^

Si nous ajoutons, nous aurons, en vertu de (4) et (5),

—^ h\ — -- hi — ...^—-.

id^ u .0 d- u , , à^u , .

(du du du ,

2l6 CHAPITKI- IX.

Calculons mainlcnanl A^ i \^; nous axons

i iJ

OU, en vertu de (i3),

'7 ou, en vertu de (2) et (3),

I ^foq <)hl OQ àb,u.\

qZ\ôb-j^'^^j-^^'^ôbr.^J 'j

La formule (20) devient alors, en la multipliant par Q,

OU

QloU = > I — - nuQ ~

OU enfin

Application. — Supposons que l'on veuille calculer d- Il ô- u (f- u

dx-2 oy^ dZ'^

Si l'on pose

X = r siiiO cos"^,

y = r sinÔ sint]/.

z = r cosO,

CHANGEMENT DK VAKI.Un.ES.

on constate que l'on a

dx Ox ô'r OU ~

Or Oii

dz dz Or oh

dx dx Tir O'ii

Or 0'1> '

dz dz " ôr O'ij

dx dx

dz dz

dh di>

dh d^

on peut alors calculer l-^u par la l'ormule (21), ell'on trouve