X-, xz x

(I) ■ a'\-^'/.=, ai-^'/.-i aji^-t-i

a\ -4- À„ «2-4- À„ afi -!- Xrt

dans lesquelles <7), a^, • • • sont des nombres positifs quelconques, que nous supposerons inégaux et tels que

Elles établissent n relations qui permettent de calculer les x en fonction des A, ou vice versa les À en fonction des x. Les variables ). sont ce que l'on appelle des variables elliptiques ou des coordonnées elliptiques, pour une raison qui sera donnée plus tard. Ces coordonnées elliptiques jouent un rôle important en Analvse et en Géométrie; elles ont été découvertes par Chasles et Jacobi; ce dernier géomètre et surtout Lamé en ont fait de remarquables applications à la Mécanique et à la Plivsiquc matln-matique.

2l8 CIIAl'lTKE IX.

Nous allons d'abord nionlrcr comment on peut résoudre les équations (i) par rapport à J7,, x^, ... ; à cet elTet, observons que l'équation en A

peut être considérée comme avant pour racines ).), A^? • ■ -i \„, et toutes ces racines sont réelles et séparées par les nombres

— 00, — a'j, — a\, .... - cifi et -r- 00 .

Pour s'en convaincre, il suffit de supposer, comme nous Taxons fait,

et de substituer successivement dans le premier membre de l'équation (2), à la place de A, les valeurs

— 00, — al — E, — aj-i-î, — aj • — t, .... — aï^-^ z, -;- oc ,

où s est très petit. On trouve alors que ce premier membre prend respectivement les signes suivants :

et, comme il est continu quand A varie de — 00 à — a^, de — a''^ k — a'-,^ . . . , de — a'j^ à — co , le lait que nous avions avancé se trouve démontre.

Faisons a^-i-X= u; l'équation (2) deviendra

u u -r- al — a?

ou, en cliassant les dénominateurs,

u{u — al — a\){u— al — a, ). . .

— x'yiu -^ a'I — ai){u — a'I — a^). . .

— xf, u{u -7- a'T, — a'î ) . . . ( « -r- aft — « j ) — ° '

le produit //,, //o. . . ., ;/„ des racines est

~x'i{al—a\){al — ai)...:

ClIA.MiKMKN I I)K VAIllABI.ES. 2I9

-donc, en remphuaiil //,, i/.,, . . . j)ar leurs valeurs,

— («ï— li){a\ — 1.2) . . .{a] -i- In) -' •^"i(«2^-«î)(«3 «!)•••,

d'où