I àf df d^f

étant développée, on doit v remplacer -f ^ par - — ^ — , • • ••

^ ^ -^ ^ Oxi dxj ^ ôxiôxj

Un calcul analogue donnerait

Ainsi, dans le cas particulier de deux variables,

x: — ^ -f- 2J"i37, h xi -— ^ = m(ni — i)/.

' Ox'l - Oxi 0x2 ^ fJxl ^ '''

Réciproquement, on peut [)rouver que, si l'équation

a lieu identiquement, la fonction f est homogène et de degré m. Pour le démontrer, changeons de variables et pre-

ClIANr.KMENT DE VARIABLES. 223

nous pour nouvelles vaiiahles

nous aurons, en désigna iiL ])ar un d les dérivées relatives aux nouvelles variables,

df df df X.2

Oxi ~ r/./'i dji .rj

AL - l'I JL, dXi dy'i xC

dya x\ '

OXn dVn ^1

L'équation (3) devient alors

on en tire

df ,

df dxi

les expressions log/et log^"' ont précisément pour différentielles-^ etm — ^: ces expressions ne sauraient par suite

différer que par une quantité indépendante de X|, que l'on peut appeler log'-p(j') , r^, . . . , r») ; on a donc

log/=Iog^;"-^ logo(j2, ...,j„) ou

ou, si l'on veut,

Il est clair que celte fonction y' satisfait à la formule (i); elle est donc homogène et de degré tu. c. q. f. d.

L'équation(3) est caractéristique des fonctions homogènes; il n'en est pas de même des équations telles que (4), dans lesquelles entrent des dérivées d'ordi-c supérieur, et nous

224 CIIAI'ITRK IX.

\errons plus loin qu'elles peuvciiL èlre salisfalles idenliqueinenl quarul on v remplace y par une fonction non homogène (les variables j:*), To, .... Xn-