T11I^:()RIE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES
V I. — Définitions.
Une des plus belles applications que l'on ait faites du changement de variables est la théorie des substitutions linéaires.
On dit que l'on fait une substitution linéaire quand aux variables X4,jro, . . . ..r,, on en substitue d'autresjKnJ^a? • • • » J'h liées à celles-ci par des équations linéaires et homogènes. Ainsi, en posant
^2 = Y2I 7i -^ Y22 y-i --••■— '(in. .r„,
'il -- Y"lJ 1"*" Y''2j'2"T-. . .-+- '[nnyn,
Yh) Yi2i • • • désignant des quantités indépendantes des x et desj', on fait une substitution linéaire; les formules suivantes, d'où l'on déduit Xf, x-,, • . • ; ^«, deviennent (après que l'on en a déduit ^,, x-i, • • • , Xn) ce que l'on appelle la substitution inverse
Xi = Yl 1 -^I "^ Ï2I X-i^- . . .— '(211 -^n,
y II — 'lln^X ~~ Y"-'t "^11 ~^ • • • '{lin ■^11-
Le déterminant ^- ^ yn Y22 • • • Y«« est ce que l'on appelle le module ou le déterminant de la substitution (i). Quand ce déterminant est i, on dit que la substitution est unimodulaire.
La substitution (i) est orthogonale quand, appliquée à la fonction x'\ -t- x'I -\- . . . -r- x'f^ , elle la transforme en
228 CII.VIMTRK X.
La substitution (i), appliquée à x'^ -^ x't -\- . . . ^~ x'f^ , donne
XT'iJ-T/vj)'[j.^'v;
ou
cette expression devant être identique à r'f -^^2 "r- • • • -hj'«
on a, pour \x > v,
et, si l'on effectue le carré du déterminant X,-- Tu • • ■ T"'" on le trouve, en vertu de ces formules (3), égal à -;- i ; donc :
Le /nodule (V une substitution ortJiogonale est égal à ± I.
On peut résoudre les équations (1) par rapport à )',, I0, . . . .^^„ : il suffit pour cela d'avoir égard aux relations (3) ; si l'on multiplie la première par y, ,, la seconde par Vj,, etc., et si Ton ajoute, on trouve
?-wi-
On pourra joindre aux formules (3) les suivantes :
2 ^'''i^"'"' "" °' ^ ^ ïr' p^ '- °
pour [i-^v, qui résultent de ce que la substitution précédente est orthogonale comme ( i ).
Voici une méthode indiquée par M. Brioschi pour former des substitutions orlhoironales.
IIIÈOIUK UKS SUBSni LIIONS LI.N/CAIRES. 229
(Considérons les deux svslcmcs d'équations
1 ''21 '?'l rt22-ï'2— . .- a2rt a7,j— t«2,
,' «7,. .r, -:-«,, .Ta --...-■- a„i J-n= t^i,
elsupposons «/i= i , (iij= — aji', multiplions les équations (i) par r,i, c/o, . . . , c,« et ajoutons-les; nous aurons
•^l(C,lrtll- - C,2«21— • - C,„rt,;,) 1
~ ^"2(^1 «12 — C,-2 «22 ~ . . . - C/„ a„2) } — Cil "1 — C/2 i<2 -^ • • • " <^//l "«•
Le premier membre de cette équation se réduira à f,, si Ton pose
Cil '^ij ' Cil ^îj — • • • — Ciii a„j — aji -- — ttij, ou
Cil Clij - Cil Ct-ij — - • • —{Cii-- I )a/y— . . . — Cin Clnj = O.
On déduit de là les valeurs des c/y
Cij— - «ij— -7 — «2/ -. . .— -;; ■ Clni 5
A désignant le déterminant des quantités rt/y. Cela posé, multiplions les équations (2) par cl^l^ cl^it •••, dni', nous aurons
xiiaiidii- ai=,d.u--. . . «m </,„)- • . .= du^i -r-daVi — . . . — d„iV„, et, pour que le second membre se réduise à ///, il suffît que
'^li <^Jl -~ "2i <^y2 — ■ • ■ — dm ajn ^-' dij ',
on en conclut
dji -= - I o-ii -^ a/« -r^ . . . ) 7
^ y\'Jaij Oaoj )
23o CHAPITRE X.
par suite dji = c/j., cl l'on a
Cu ^i -.- Ci2 Uî C21 «I -i- C22 «2-
•-+- Ci„ M«, -f- C2/1 M;j,
l'/, — C/,| ;/] -- C„2 «2 "*" • • • "+" ^nn W/M ?/, = Cl, 4^1 + C21 P2 -^ ■ • • + f«l V'i ,
U„= CuiVl
C2ni'2
Ces formules ayant lieu simultanément, il est facile de voir ([uc les substitutions qu'elles représentent sont orthogonales, ce que Ton vérifie en formant c^ i f, — C21 ('2 -r- •• • an moyen du premier système, et en observant que l'on doit avoir identiquement u, etc.
Voici une application de ces formules : posons
au = I, «21 -^ — «31 = [J-,
nous aurons
ensuite
Cu C21 — [XC31— I)
— vcii C21-+ Xca, r^ V,
[J. Cil À f 21— C31 = [J.,
d'où l'on lire
C,,==i(l-|-),2;x2-v2), C2i = |(Xa-f-v),
Cl2 = ^(>'IJ-— V),
Ces formules ont été données par O. Rodrigucs, qui les a trouvées i)ar une tout autre voie; elles servent, comme les
THÉORIE DKS SU B S T I TT T I ON S LINÉAIRES. 23l
Connulcs d'Eiilcr, à la Iransforination des coordonnées, mais les neuf cosinus sont ainsi ralionnellcment exprimés par le nioven des trois paramètres A, [jl, v.
Si l'on appelle 0 l'angle dont il faut faire tourner, pour l'amener sur le second, le premier système d'axes autour d'une droite faisant avec les anciens ou les nouveaux axes les angles a, [i, y, Rodrlgues a montré que l'on avait
X = tangiOcosa, [jl = tang|0 cos3, v - langiO cosy.
( J'oir le Journal de Lioin'ille, t. ^^ i'° Série).
>^II. — Application des substitutions linéaires aux fonctions homogènes du premier degré.
Le but des substitutions linéaires est la simplification des fonctions; en Géométrie analytique, les transformations de coordonnées sont des'substitullons linéaires.
Lorsque l'on fait subir une substitution linéaire à une fonction telle que
on peut, et cela d'une infinité de manières (c'est-à-dire au moyen d'une infinité de substitutions), la ramener à la forme donnée
