V-i Ti — l^îVi -^ . . . -f

De même, étant données /i fonctions linéaires

l/f ni

An X^ -V- Âio 3^2 -4-. . .— À|,

Aoi ^l -i- ^22 J"2 -^ . . . -T- k-2,i X„,

'>«! Xi —r /^nîXo -T- . . . -+- A,j,j X,i ,

si Ion lait la substitution

^n = Y«l7l -^ T«272 — . • . -r- '(niOn ,

232 (.Il.VPITUK \.

elles do\ icikIioiiL rcs[)ccli\cinc'at

où l'on a posé, pour abréger,

Si donc on se donne jj.,i, a/o, ■ • • , [J./« à l'avance, on aura /? ^équations entre les fi- quanlilés y/y pour déterminer ces quantités; si l'on se donne tous les tx^y, on aura ainsi n- relations entre les y,/; donc :

On peut toujours ramené/- sùnultanément n fonctions homogènesdupremicr de gréa d'autres, donnéesà l'avance, au moyen d'une substitution linéaire, et cela d' une seule manière.

Il y a pourtant une exception à cette règle; en cfiet, les y/y ne sauraient recevoir des valeurs bien déterminées si le déterminant 7 ::r \^^ "ko^. ■ • \in était nul, mais alors il existerait des relations linéaires entre les coefficients "Xij, et les fonctions considérées ne seraient pas distinctes, ce qui est d'accord avec le théorème (p. i68).

Nous remarquerons enfin que, en vertu de (i), le déterminant des fonctions données est égal à celui des transformées, multiplié par le déterminant de la substitution. Ce théorème sera généralisé.

JIII. — Application des théories précédentes aux fonctions homogènes du second degré.

Les fonctions homogènes du second degré jouent un rôle important dans un grand nombre de questions d'Analyse, et en particulier dans la lliéorie des maxima que nous allons bientôt étudier.

Une fonction homogène du second degré en .T), x-i,. . . ,x„

TIlfMUlIR l)i:S SI IISTlTrriO.NS LINÉAIKKS. '>,33

peut èlre représentée par le s^nil)olc \^rttj .r^ :rj, où l'on snpposc Oij^~ ciji\ ainsi on a pour le cas de deux variables, par exemple,

^^(tjjXiXj «1, .r\ -- ■?. aiiXiXi -- aiix\.

TnKORKNrE ï. — Toute fonction lioniogùne du second de- <^rc à n variables est une sonune de n carrés positifs, négatifs ou nuls ( ' ).

Si Ton pose, en efTet,

' (lij Xi .ry - ( Yn J^i - Y 1 2 -^2 — • • • - ï 1 « -^n y-

( '[il J\ - - Y22 ■<"2 -*-••- -- '{-lu r,, )-

, . , /î ( /i — I ) , . , , 1 pp .

on ol)lien(Ira équations en égalant les coellicienls

de .i'\, Xx Xo,. . . ; ces équationspcrmeltrontde calculer d'une inlinité de manières les quantités y/y en nombre n'-.

Pour effectuer la décomposition, on peut procéder comme \\ suil : on a

N a^y^/a-y = («11^1 — «12^2 — ■..— «lrt^«)- ^/l,

fi désignant un polynôme liomogènc du second degré qui ne contient plus .r,; en opérant sur y", comme on a opéré sur 2j''ij^i^j->'^^ peut le décomposer en un carré contenant les variables Xo, x-^, . . . . a:„ et en une fonction /"o du second degré ne contenant plus j", ni x.>^ et ainsi de suite, y aijXiXj se trouve ainsi décomposée en n carrés, dont le premier peut contenir toutes les variables, le second toutes les variables excepté X,, le troisième toutes les variables excepté j^i, a^o, etc. Cette méthode tombe en défaut quand «n = <^22 ^= • • ^^ o, mais alors on pose

X (a2iar, -+- a^iX^--. . .— am^n) -fi, (') Un cane négatif est un cane précédé du signe — .

234 nUAPITRE X.

^ clrsigiinnl un polvnome du second degré ne conlcnanl ni X, ni .?•»; on appelant X cl Y les fonctions linéaires

«lî-To- . .. — ai„.r„ et OiiTi--. . .-^ a.2„T„,

on voit que .V i = [ — - ) — ( — — ) et que la (oucIidu

^ciijXiXj, dans le cas où ûf , -- «22 = . . . :^ diin-^ o? peut se décomposer en deux carrés et en une fonction du second degré, ne contenant plus œ^ et ^r^, à laquelle on pourra appliquer l'une ou l'autre des méthodes que nous venons d'indiquer.

Théorème II. — Loi de l'inertie. — De quelque /manière

que l'on déeompose la fonction réelle 2,^ijXiXj = f en

une somme de carrés indépendants, on trouve toujours le même nombre de carrés positifs, négatifs ou nuls.

Pour démontrer ce théorème, nous observerons que, si l'on considère deux groupes de fonctions linéaires et homogènes de a^i, X21 • • •- Xfi indépendantes, savoir X,, Xo, • • -, X,-, et Y,, Y 2, - . • , Yy, telles que iy J, les fonctions X,, X2, . . . , Xi ne sauraient s'annuler toutes identiquement quand on suppose Y, =: Y2= . . • = Yy= o. En effet, les fonctions Y,, Yo, . . ., Yy étant indépendantes, on pourra calculer^,, Xo, . . . , ^y en fonction de Y, , Yo, • . . , Yy et de ^y^, , .... a:,, et, par suite, on pourra exprimer sous forme linéaire et homogène X), Xo, . . . , X/ en fonction de \,, Yo, - - • , Yy, ^j+i, ■ • ■ ' -^ii- Soit, par exemple,

Xyl- = Xi Yi -T- X2 Y, — . . . -^ X, Y/ -r- [X, a-jH-i -- [J.2S:,+2 -h . . . -r- lt.„-iT„,

les ). et les pi désignant des constantes. Si les X s'annulaient, en supposant les Y nuls, on aurait / équations de la forme

ij-i Xi^i — [J-i^i+i --...— [t-n-i^n --- o,

qui, ayant lieu quels que soient .T/^.!, Xi^2i • ■ • : -^ni donneraient [x, ^-- o, jjLa-^o, ..., [JL„/- o, et par suite les X