THÉORIE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES

é(jiiivalenlcs à leurs Iransfonnccs et que celles-ci puissciil réciproquement reproduire les premières.

Nous supposerons le discriminant de ^ dilTérent de zéro; alors A := o aura bien n racines égales ou inégales; s'il n'en était pas ainsi, on opérerait sur /"comme on opère sur ^'^, et l'ice versa; si le discriminant de / était nul aussi, les fonctions /" el i' ne seraient ni Tune ni l'autre des fonctions de n variables, el, pour faire les calculs, on opérerait sur les fonctions/et ^«^ réduites à moins de n variables. Ainsi l'on pourra supposer le discriminant de g différent de zéro. Cela posé :

Théorème. — Si l'éfjiiation A ^i: o admet pour racine simple A,,, les mineurs de A pour cette valeur de \ ne seront pas tous nuls, et g{'(i;, '(rn • • • i = 13.^ sera différent de zéro ; si A := <> admet a,^ pour racine double, il pourra se faire que les mineurs de A ne soient fias tous nuls, mais on aura g{\'i-,, '^'i,, . . .) = ]\ = o.

Tous les mineurs de A n'étant pas nuls, supposons y^différent de zéro, de (4 ' on tirera

d'où

or non> avons vu (p. iGi) que

ôapj ôuiq OUpj ôUiq dupg Oai,, ' et, comme A =^ o,

ôupj Oai.j ~ Oapq daij La formule {a) devient alors

^'>''''''l''\7)aTj) ' '^"'^'''^^

daij dap,,

<:iiAnTui: x.

''" <>"ij

t't, en supposant - — o,

on on conclu l

J^2^^/'7Y/'vY/v

ou bien

Donc g- (Yiv, Y2V5 • • •) ^^^'^ '^"^ '"^1 difl'crenl de zéro, suivant

que -T^- sera lui-même nul ou dilTt-rcnt de zéro, car v.,^, y^^ ne

peuvent être nuls; en effet, si y/v était nul, le système (4) se réduirait an — i équations homogènes dont le déterminant serait différent de zéro; par hypothèse, ce déterminant étant

r^j il faudrait alors que tous les v. fussent nuls.

Ainsi B,^ pourra être choisi arbitrairement, si A = o n'a pas X; pour racine multiple.

Au contraire, la transformation ne sera pas possible, si A ^ o admet A,^ pour racine double; ces conclusions lombcnt en défaut quand tous les mineurs de A sont nuls.

Examinons ce cas. A cet effet, faisons varier les coefficients de la forme /, et désignons par un o une différentielle totale relative aux coefficients «,y de cette forme; si l'on différentie la formule (b) avec la caractéristique o, on a, en écrivant g au lieu de g (yiv» "pv? . . ."l et en négligeant les termes nuls,

choisissons les oa de manière à annuler le premier terme du second mend)re, nous aurons

/ N fV '^-"^ > '^'-^ -^ 1

.n-2 -^^-'Yr/Yy-v

THÉORIE DES SIBSTITUTIONS LINÉAIUES. 9.47

Or 0?.,^ n'est pas nul ; car, on (liflcrcnlianl A = o deux fois, on a

lorniule dans la(|in'llc le second Lcrine csl nul, et d'où Ton lire, en général, pour o)>^, deux valeurs dillVrcnles de zéro : la

lorniule (<?) nous montre donc que g n'est pas nul si -^

n'est pas nul, c'est-à-dire si \ n'est pas racine triple de A = o. On verrait, en continuant cette discussion, que g ou B^ pourra toujours être pris ai'hitrairement si X,^, étant racine d'ordre de multiplicité h de A = o, tous les mineurs d'ordre h -+- I de A sont nuls. Le contraire aura lieu si .tous ces mineurs ne sont pas nuls.

Voici maintenant les conséquences à tirer de là : 1° Si l'équation A = o a toutes ses racines inégales, les équations (4) iourniront des valeurs bien déterminées des Y/y pour lesquelles les B^ ne seront pas nuls, et la transformation (i) sera réversible; c'est ce que prouvent les formules (2) et (3), en vertu desquelles

§^l{'il\y^lîii ■■•j'ilil) c'?'2( Y2I' Y22) • • • • Y2")

Bi R,

2° Si l'équation A = o a une racine double, on ne pourra pas, en général, ramener/ et ^- simultanément à des sommes de carrés par une substitution linéaire réversible, la valeur correspondante de g étant nulle.

3" Si cependant l'équation A = o avait une racine double, tous les mineurs de A étant nuls, les équations (4) donneraient pour les quantités v une infinité de valeurs admissibles, les rapports de ces quantités étant déterminées dès que l'on se donne l'un d'eux ; les valeurs correspondantes de g ou de B ne seraient pas nulles et la réduction à une somme de carrés pourrait encore s'elTecluer au moyen dune substitution réversible, etc.

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