IX. — Invariants et covariants

Les fondions entières et homogènes portent souvent le nom àc formes ; ces Tornics sont quadraluiucs, cubiques, etc., quand elles sont du deuxième, du troisième degré, etc. Elles sont binaires, ternaires, quaternaires, etc., quand elles sont à 2. 3, 4, • • • variables.

Soient «,,, «12, ... les coefficients d'une forme

soient ^21 1 <''i25 • • • ceux d'une seconde forme /o, etc. Si nous effecluons une substitution linéaire, les fonctions /n/a? • • • deviendront des fonctions de j',, j'2? • • • ^.'/n ^^ si «/y désigne le coefficient de x'^^ jc^ . . . x\ dans //, nous représenterons par bij le coefficient de j)'^ JK^ • • • ,>'], dans la fonction en laquelle se transformera/,. Cela posé, si l'on a

t?(6n, ^12, •••, ^>i\' f^22, •• • ; ,.ii> 72) ••••.r.')

T^' désignant une puissance du déterminant de la substitution, on dira que la fonction cp est un covariant des fonctions/,, /., . . .,/,«.

Si l'on a seulement

0(611, ^12, •■•■ ^^21, ^22, •••) = l''''?(«ll> «J2, •■•• «21. «22, •••),

la fonction cp ne contenant pas XiyX-^, .... x,i, on dira que cp est un inva/-ia/it des formes f\,/-2, • • • ? ./w

Voici quelques exemples d'invariants et de covariants :

Théorème I. — Le déterminant fonctionnel de plusieurs fonctions est un covariant de ces fonctions.

En effet, soient /,, f., /, des fonctions de x^,

^2. ..., x„\ eifectuons la substitution

[ ^1 == Vllji -^ Y12 J'2-!-----t- Vl«J'"

1 3-2 = 7-2 1 Vi -^ 722 y-i -+-...■+- 72/i :>'/( ,

Tiif:()niK nns siustititions linI-aiues. 2^9

nous aurons -t — = 7,; or

0{j'i-y-i .•■«} ' <>{.ri.x.2 /•„) '>(ji,j2. .••..r,,)'

c'osl-à-dirc

'H/uA f'n) ^ y à(/,,f,, ....f„)

fi'(7l,72, yn) 0{Xi,Xz, ...,.Vn)

Le délcrmiiianl Conclionncl sera donc, en gciicral, un covarianl; cependant, si les fonctions J\, J2, . ■ •• fn étaient du premier degré, les variables Xy. .r^, . . . , x„ n'y seraient plus contenues, et il deviendrait un invariant.

TnÉonk.ME II. — Le hessicn d'une fonction est un coi'ariant de cette fonction, qui se trou^'e multiplié peu- le carré du module de la substitution à laquelle on soumet ses l'ariables.

Soit, en eflet, / une (onction de .r,, x-2, - -, ■?'« ; soient

/, , /o, .... /„ ses déri\ées -^, ■•■, ■—, et 'j>, , -^o, -j;,,

ses dérivées — j • • • ^ — après que l'on a efTcctué la subsli-

tution ( I ); on a

>y(Oi.o,, ...o,,) 0{Oi,'^î, .•.■">„) à(fi, /,,..../„) d(xi, ...,.r„)

Le premier membre est le liessien de / relatil' à j,. j-2, ..,)'„, appelons-le H,-; le second facteur du second membre est le hessien Hf de / relatif aux variables x, le dernier facteur est le déterminant F; on a donc

Or

O, = = /, j'ii -r-Jl ,'21 . • • •-+- /« ,«!)

iOO cil A n TUE X.

ilonc, en génrral, --— ^= vy,-, et par suite la formule (2) devient

Le hessien est donc bien, en général, un covariani ; toutefois, si /"élail du second degré, le hessien se réduirait à une constante que Ton aj^pelle quelquefois le discriminanl de la fonction du second degré f aX. qui sérail un invariant de celte fonction.

Ainsi, par exemple, le hessien de la fonction

est égal à