X. — Émanants

/désignant nne fonction homogène de jTi, x.2 ,. . •, t,/, de degré /;?, l'expression

, df , df , df

•^ ~ ■^' dx, "^ ^^ rf^~ "^- • -^ ^« d^

est ce que l'on appelle le premier émanant de f] le symhole x\ Y~ 6St commulalifel distributif, et, par suite, l'opération P"/ pourra se développer par la formule du binôme; P-/, P''/, . . . sont les deuxième, troisième, etc. émanants de/.

Thi'ùorème. — Tous les émanants de la fonction /sont lies covarianls de cette fonction.

THÉORIE DKS SIBSTITUTIONS LINÉAIHES. ! 0 I

En efTet, on a, en criectiianl la siihstilulion i i ) «lu para- ;raplie précéilenl,

~i^~ 7 .■ Vil

,îl

iJX„ f)X„

'(ni,

Si clans les formules (i) on accentue les x et les y, on en tire

Jonc

Or, dans le second membre, le coefficient de-p- ^r^j^, est égal à

I oV

c'est-à-dire à l'unité. Le coefficient de -— a\ est égal à

OXu.

c'est-à-dire à z('ro; on a donc rigoureusement

Sr'-^-yx'-^.

2à^^' ovi - 2à-^' Ox]

et le premier émanant d'une forme est un covarianl absolu de cette forme.

Il est bien clair que, si l'on répète sur la fonction

l'opération P, elle restera encore invariable par la sub.slilu-

lion. Mais on pcul donner de ce lliéorèmc une démonslralion plus simple : on a

/{Ti -+- l r\ , x.-¥- tr', r„ -, - / t'„)

= .a-r,,.r,, r„)+ ^ Vf+~V\f-^...

fm—l

Soit :?■ la fonclion transformée de/ par la substilulion (i); on aura

= .^iXi^r-i yn) + ' P.^ + j PV + - • ■

fm-l

l>/« — 1 cr ^ . /OT rri ■x-' 1'' \-

(^//J — Il or on a

/(>,, ^r., ...) = ,-(j,, j,, ... ) et, par suite,

f{Ti^/.r\, . . . ) =r -(^., ^ / ,/ ^ . . . ).

Les coefficients de ^' dans les développements des deux membres de cette équation devant être égaux, on aura

P'/=P',?, ce qui démontre le théorème énoncé.

Remarque. — // est bon d'observer que l'on a, à un facteur numérique près,

.r, '-r,- ^... /=hPi -r-^ -4-j", — - -4-... /.

Ces deux expressions sont les termes de degré h en .r, , .r',, ... ou de degrés m — A en .r,, .r^, ... du développement par la formule de Taylor de la fonclion

/(jr, + .r',, .r,^./,, . . . ).

Nous trouverons plus loin une interprétation géométrique remarquable de la théorie des émanants.

Théorème. — Ae hessien d'une fonction n'est autre chose que le discriminant de son second émanant.

TIlfiORIR DKS SrilSTITl TIONS 1. 1 N f: \ I H E S.

En eiïel, le second émanant de /est dont le discriminant relatif aux variables x] est

dx- (Jj-iàxo

rn f ,)i f

I OXn dx 1 ôx,i ôx-i c'est-à-dire le hessien de/.

()x^ dx„ Oxl