XI. — Contrevariants et divariants
Des variables x\, x'.,^ . . . , x\^ etx,, x.^^ . . . , x„, qui doivent être transformées par la même substitution, sont dites co^rr- (lientes ; au contraire, si ces variables devaient être transformées, les unes par une substitution, les autres par la substitution inverse, on dirait qu'elles sont contragrédientes. Je rappelle que les substitutions
et
yi r^ Cil .r; - Gi2 J^o-H. . .-H Ci„a",,,
\ y ,1 — '-'/Il ■'l ~ '-'«2 '-^i ■ . . -i- C/,„ Xn
sont dites inverses l'une de l'autre quand on a, en ijénéral,
Pour donner un exenq:)le du cas où, dans une même question, il peut se présenter des variables contragrédientes, considérons une forme linéaire
254 CllAlMTllK X.
11 n'est pas difficile de s'assurer que, si l'on apjiliquc aux variables Xi, .r^ J^n lii substitution ( i ), les coclliciculs a i ,
'7^, . • . (f„, ( onsidérés comme des variables, subiront la substitulion inverse ; et, en effet, la substitution ( i ) transforjuc la l'onction linéaire en question dans cette autre
«i(Ti1 Vl- Yl2,Vo-^.. . I «2(721 ri -Y22j'2- • • • •- .. .= O,
de sorte que, en appelant bt, b-,, • • • , b,i les coeflicicnts de j^, , ro, . . ., j'„5 c'esl-à-dire de la nouvelle forme, on a
bi — Yn «1 - - Y21 «2 — • • •-'- Y«i *"'«' bo = Y12 «1 -f- Y22 «2 -- . . . Y"2 ^''"
les variables ^, , ^21 . . . , >2^«, et «i , «..• • • • > «« sont donc transformées par des substitutions inverses : elles sont ce que nous avons appelé des variables contragrédienles.
Maintenant, soient ^1, x-;.. . . . . x,i, ei x\, x.^, . '. . , x], des
variables contragrédientes ; soient «, «', a!' , ... les coefficients de certaines formes pouvant renfermer, outre les variables X| , x,, . . ., Xii^ les variables contragrédienles x\^ x'.,. . . ., x\^.
Appliquons à ces formes une même substitution linéaire transformant jr,, x.y, . . . enj,, l'j. ... et x\, .ri,, . . . (par
la substitution inverse) en v\, r'.,, ... ; soient A, b', b" les nouveaux coefficients de ces formes ; soient enfin F le déterminant de la substitution que l'on a effectuée sur les Nariablcs Xi, Xi, • . . , x,i, co un exposant quelconque. Si l'on a
'^'{a, a', . . . ; Xi. x^. . . . : x\s x'.,, ... 1
^Y^':.(b, b ...-.Yuy-i, ...-.y,, y.. ...I,
on dira que o est un divariant ou un covarianl mixLe ^ si la fonction '.2 ne renfermait pas les variables x^, x-2.-, ■ • ■ , x„, elle porterait le nom de conlre^'ariant.
On verra bientôt qu'il existe un grand nombre de divariauts; en voici un qui appartient à toutes les forn^es : c esl l'expression
THÉ ouïe di:s siustitu iions linéaires. aS"
lui cfTel,
y\-^i^'i = y,lï/i7i — Y/272--- • --^ T/«7«)^i-
=^('(i\>-^\ " '(-iV-^'-i - • • • ^ T"(A^« )7h^ î
mais, los variables x' étant transformées par la substiliitiini in\ei'se, on a
Yii-i-^i -- T2!J-^2 -^- • --^ "(/ly-^/i — J'(jL' donc enfin
et l'expression 2.^i-^'i ^^^ bien un divariant de toutes les I ormes.
