XIII. — Recherche des invariants
Théouème. — Le nombre des invariants d'une ou de plusieurs formes est nécessairement limité (il s'agit, bien entendu, d'invariants distincts, c'est-à-dire tels qu'aucun d'eux ne soit fonction des autres).
En effet, soient jc,, x-^^ ..., Xn les anciennes- variables; rt, a\ . . . les anciens coefficients d'une ou plusieurs formes; j^i, )-2, . . . ,j„ les nouvelles variables; b, 1/ , . . . les nouveaux coefficients; A le déterminant de la substitution. Si .p(a, a',. . .), •l{a, a\ . . .) sont des invariants, on aura
L'élimination de A donnera des relations telles que
or il ne peut exister qu'un nombre limité de relations entre les coefficients a, //', . . ., b, //', . . . obtenues en éliminant les coefficients de la substitution entre les relations qui donnent les b en fonction des a; donc le nombre des relations (2) est limité, et par suite aussi celui des relations (1); donc, etc. c. q. f. o.
Une forme quadratique ne peut avoir qu'un seul invariant qui est son discriminant; car toute fonction quadratique
TlIl'OUIi: DES SL'USTITUriONS LINÉAIRES. 267
|)('iiL se liaiisrornicr dans une autre donnée à l"a\ance; donc il ne saurait exister de relations entre les coclfieients de la proposée et de la Iransforniée : c'est ce dont on s'assure aisément en faisant efTectivement la substitution et en égalant à des arbitraires les coeHicicnts de la transformée. Soit n le
nombre des variables, celui des coelficienis est — : on
aura donc équations a écrire pour déterminer les
n- coefficients de la transformation : or /i- est toujours supé-
rieur a ^= — 5 car /i<'/i-.
On verrait de même qu'une forme cubicjue binaire n'a qu'un seul invariant.
Quand on connaît les im-a/iants d'ane forme de degré n, on peut Irotner les im'ariants de plusieurs fo/'/nes de même des^/é.
Eneiïet, soient '^(X), . . . ;«,,«2? • • •)' '}(^i' ■ • -'i^^iy^'-'j- • •)' h[ Xi, x-2, ... ; a\ , a".,, ... I, ... des formes d'ordre n ; considérons la Ibrme unique
o -T- hl -i- 1x0 — ... .
Soll n(r/|, (fj. . . .) un invariant de la l'orme ':> ; alors
n ( a, -^ À a'i -;- iJ.a'\ ~ . . . ; a-j-^ 1 a', — [xcù — . . . )
sera un invariant de tp -;- 'r-l -+- <jJi --.... En appelant alors />,, 02, . . • ; b\j ù,, ... les coeflîcients des formes transformées, on aura
II ( «I - ). a\ — [j.a\—... ) = A''' Il ( bi- À /j\ — \i.b\ — . . . ),
A désignant le déterminant de la substitution. Cette formule devant subsister, quels que soient X, ijl, v, . . . , les coefficients de ).' |j.^ v^ ... doivent être égaux. Soient u et A"r ces coefficients; on aura u = A"*^' : donc u est un invariant des formes cp, di, B, ....
Le nombre des invariants d'une forme 'o est égal au plus au nombre des relations (jui peuvent exister entre les coeffî- L. — Traité d'Analyse, I. 1-
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ciculs de o et de sa transformée, augmenté de i. Soient donc m le degfré de z>, n le nnml)rc de ses variables; le nombre de ses coelficients sera
on j)ourra donc écrire un pareil nombre d'équalions en égalant les coeliicienls de la transformée à des noml)res b^ , by, .... Or les coeflicienls de la substitution sont au nombre de n- : donc il existe
relations entre les coefficients de '^ et de sa transformée, et
par suite
invariants. Ce nombre se réduit à i quand le nombre (i) est négatif, mais c'est là une limite supérieure.
On trouverait de même une limite supérieure du nombre des invariants de plusieurs formes du môme degré.
XIV. — Méthodes générales pour former des invariants, des covariants, des contrevariants et des divariants.
TnÉnKi-MK lownAMENTAi^. — Soit f(.Vi, x.,, ...,.r„) une fonction homogène de degré quelconque ; si Von effectue la substitution
les dérivées '!e f prises /xir idpporl ^> j',, jo,. . ,,.)'// sont transformées par la substitution inverse.
TIltOUIE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIUES. aScj
Cela ivsiille iininccliatemcnl des formules générales pour le cliaiii^omcnl de vaiialile intlépcndaiilc ; on a en efifel
