XV. — Invariants des formes quadratiques
ADiis avons déjà remarqué (|if une forme qiiadi-atiqiio n'avail ([u'iin invariant, à savoir son discriminant ou licssicn. Si l'on considère deux formes quadratiques
les coefficients des transformées s'exprimeront à l'aide des coefficienls des proposées et des n- coefficients d j la substitution, ce qui fournira
lelations possibles entre les anciens et les nouveaux coefficients; le nombre des invariants est donc au plus /i -{- i. On les trouvera j^ar la règle donnée (p. aSS) et l'on formera le discriminant de/ — A^;les coefficients de A", )., ).-, . . . , A"~',)/' seront les invariants chercliés. On peut remarquer que ce sont les coefficients de Téquation qui nous a servi à réduire / et i,'" simultanément à des sommes de carrés.
Un raisonnement analogue donnerait les invariants d un plus grand nombre de formes.
Une substitution ortliogonale n'altérant pas la fonction x'^ -h X7, -^ . . . -'- xf^, si l'on considère l'expression
2^a,jXiXj— s{j:i-xl-...- x;, ),
ré(piation en s qui sert à ramener %^r/ /y .r/xy à une somme de carrés aura pour coefficients des invariants de 7 (lijXiXj^ relatifs à toute substitution ortliogonale, si je puis m'cxprimer ainsi, c'est-à-dire que ces coefficients ne changeront pas quand
7 <iijJ^i-rj subira une transformation orthogonale. Cette propriété est précieuse et nous en ferons l'application à la
26^ cil API TUE X.
recherche des paramètres d'un paralioloïdc donne par son équation
H- 7.B"ûry -i-aC/u- -r-aC'/j)- --iCtz -r-Dt-^ o.
On simplifie celle équation au moyen de deux subslilulions successives équivalentes à la substitution unique de déterminant I :
.r ^ rt j-'-l- 6 1 ' -t- c z' ^- OLt' ,
rt, b, c, a\ . . . sont les neuf cosinus bien connus dont le déterminant est i; y., 3, v sont les coordonnées de la nouvelle origine. Soit
(b) sx'--{-s'y---Q.Qz — o
l'équation simplifiée du paraboloïde; .vet^' sont, comme l'on sait, les racines de l'équation en.?; quant à Q, on l'obtiendra en écrivant que le discriminant n'a pas changé.
En appelant donc A l'ancien discriminant, celui du premier membre de (a), et observant que celui du premier membre de (b) est ^ Q'-ss',
Q^s.;^— A, d'où Q=4 -— ^.
XVI. — Contrevariants et divariants des formes du second degré.
Soity= 7 c//y\r/.ry une fonction homogène du second degré ; si l'on pose
on aura ainsi une substitution linéaire. Si on la fait subir à la fonctiony, on obtiendra une fonction es (ç,, Ço, . . .) que l'on appelle avec Gauss \^ fonction adjointe de f. Nous verrons bientôt que cette fonction est un contrevariant.
TUÉOniE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES^ ?.G3
Nous allons apprciidio à former la fonction adjointe. De ( I ) on lire
(|ni n'est antre cliosc que Tcxpression pure et simple du théorème des fonctions homogènes : pour obtenir la fonction adjointe, il suffira d'éliminer j;,, x^^ . . . , x,i entre (1) et (2), où l'on rem placera/ par cp. Or le système (i) peut s'écrire
Il X 1, — ç 1 ,
m X II = Ç2 )
rt„,3-, -f-
Cljti^'l '~ •
in-^ Il -— ~.n}
et la résultante
est
«Il
Cl\il
(■3 bis)
a un
-ji
On a donc, en appelant A le discriminant de la fonction /,
ou bien encore
(5) Ao=
• • a-iii
Ao^
■ Clnii
~ii
iûaij
Des formules (3) on peut tirer la sujjslitulion
-'2/( ~nt
et alors la formule (j) peut encore s'écrire
en A PITRE X.
Thkorkmf. I. — Lorsque le discriminant A dr f s'(innuh\ (a fonction adjointe '^ est un carré parfait .
Il v a là une sorle de paratloxe; en elVel, 'z- cl/élanL identiques, on pcul se demander commenl, /"n'étant pas nécessairement un carré, 'j doit en être un; mais il ("aiil alors considérer 'o comme défini non plus jiar l'écpialion (y), mais Ijien par Téquation (,")), où A-^ lui-même sera la fonction adjointe.
Ainsi, dorénavant, c'est l'expression \^-^ — \is\j fl^c nous appellerons la fonction adjointe.
Si f est un carré parfait, l'équation en 5 a/? — i racines nulles ; donc, pour 5 := o, tous les mineurs du premier membre de l'équation en s doivent être nuls jusqu'à l'ordre n — 2.
Maintenant on sait que l'on a
r)2A ()A dl r)A f)A
comme A est nul par hypothèse, on voit que tous les mineurs du second dei;ré du discriminant de 7 c/C; sont nuls:
it de > - A'^ est donc bien un carré parfait. c. o. f. n
Théorème II. — La fonction adjointe A.; est un contrci'ci riant.
En effet, la fonction adjointe peut s'obtenir, ainsi qu'on le voit à l'inspection de la formule (3), en égalant à zéro le discriminant de
e =2^"iJ 3-iXj -^ 2 J"„+i rri ï, -^- Xi I2 - - . . . -;- Xn \n — ^«-hl ^ ) •
Effectuons la substitution
^1 = Tu Jt '^•~ Y1272 --• • •— Yi" J«.
•2^2 = T2iri ^- Y227-2 -!-... -f- Y2« J//î
TUfiOKIi: DES SIDSTITITIONS 1. 1 N É A I U ES. 26'
ol la siil)Sliluli()n inverse
i.'ji
'i« — (i«çi"' r-//;2 •■ , /i 11,11 • J.a lonctioii (■) devientlia
II = V^/yJ/jy— 2X„H, p',r,, r,2j-2-4-...H-T,„7„— a:„+i ^ j ,
N l'ijrjVj désignant ce que devient 7 ciijXiXj par la siibstiliition (8). La fonction adjointe de 7 ^/y r/J'y s'obtient précisément en égalant à o le discriminant de H; or II = 0r-, en appelant r le déterminant de la substitution (8) : il en résulte que les valeurs de '^ tirées de 0 =: o ou de H ^ o sont l'^ales : donc enfin la l'onction adjointe es ou A'^ est un contrevariant dey*.
Si/= o est l'équation d'une conique ou dune surface du second degré,. ..,0=0,0 désignant la fonction adjointe, est l'équation de la polaire réciproque de /= o prise par rapport au cercle ou à la sphère imaginaire
Théoi'.ème III. — Appelons g = Ao la fonction adjointe de f; la/onction adjointe de g sera /A" ''.
Nous avons trouvé
^-^=Uh^^-^:^^'
si l'on appelle D le déterminant N 1^ a, , a^o. . .'J-nn^ la fonction h adjointe de g sera
et 1 on aura
266 CII.VPITRK X.
C'est précisément la valeur de .?\ tirée de (6); on a donc
Ami ÔXij
mais, en résolvanl les équations (G), on aurait
Comparant les formules avec (2), il vient
I dD f)D
D d%ji ■' dtji
on a donc
// = \>SaijXiX: :^ D ■ -^ A"-' /'.
11 résulte de là que, si ^,, X2, ^3 sont les coordonnées d'un point, les figures /"= o et g ^=- o jouiront d'une certaine réciprocité Tune par rapport à l'autre. Ce mode de dépendance sera étudié plus lard.
