IV. — Étude et classification des points critiques
On appelle point critique d' une fonction, comme l'on sait, tous ceux où cette fonction cesse d'être monodrome, monogène, finie ou continue.
Les fonctions algébriques possèdent deux espèces de points critiques : les pôles où elles deviennent infinies sans cesser d'être monodromes, et les points algébriques ou de ramification, autour desquels elles cessent d'être monodromes; un point critique peut être à la fois un pôle et un point de ramification.
La classification des points critiques des fonctions algébriques a été faite par Puiseux (t. XV du Journal de Liouville, i"^ série) à peu près comme il suit :
Considérons l'équation irréductible de degré m
Les points critiques que nous étudierons tout d'abord seront censés tels que y y reste fini; ils sont alors donnés, comme nous l'avons fait observer (t. III, p. 348), par les équations
f=o et -=^ =o
•^ ày
ou
en dénotant par /1,/0,/n, ... les dérivées ^, ^, ^2' ••*• Cette équation (2) ne saurait être identique, sans quoi (i) aurait une racine double quel que soit œ et admettrait un diviseur rationnel; elle ne serait donc pas irréductible, comme on l'a supposé.
Soit donc a, b une solution commune aux équations (i) et (2). Posons
l'équation (i) deviendra
Si l'on développe son premier membre par la formule de Ta^lor, elle prend la forme
(3) ^Aap^^viP
elle ne contiendra pas de terme indépendant de ^ et r,, car ce terme est /(a, b) = o; elle ne contiendra pas non plus de terme en r,, car le coefficient de ce terme est /^((^^ b)= o; mais elle contiendra un terme au moins indépendant de vi et un terme indépendant de Ç, sans quoi elle serait divisible par r, ou par ^; /(jo, y) serait divisible par y — b ow x — a^ et l'équation (i) ne serait pas irréductible.
Ceci posé, on sait que Fon peut, soit par la méthode (t. II, p. 149) algébrique de Minding, soit par la méthode géométrique de Newton, trouver les racines v) infiniment petites d'ordre v par rapport à S; toutes les racines t) infiniment petites par rapport à ^ sont d'ailleurs d'un ordre fini et commensurable.
Nous supposerons donc que l'équation (3) possède n^ racines d^ordre v,, 72o racines d'ordre V2, . . . , n^ racines d'ordre Vj^. Considérons en général le groupe des Ji racines d'ordre v : l'équation (3) pourra se mettre sous la forme
cp désignant un polynôme homogène en 'i\ et Ç^, et s désignant un infiniment petit d'ordre supérieur. Si l'on considère l'équation •
elle aura n racines a,, a2, . . . , ol,i, et les racines d'ordre v de l'équation (3) auront pour valeurs approchées a< ç^, ao?"^, • ^ .,
car ^ aura pour ? = o les valeurs a< , a2, ....
Si V est entier, les valeurs approchées de 'i\ seront monodromes autour du point o, et il en sera de même des valeurs
exactes ; en effet, les valeurs exactes de 7^ diffèrent infiniment
peu des valeurs approchées a ; on peut donc poser ^ = a 4- co, (-) désignant un infiniment petit, et alors on aura
Les diverses valeurs exactes différeront donc des valeurs approchées d'infiniment moins que celles-ci ne diffèrent entre elles, et, par suite, ne sauraient se permuter les unes dans les autres. Ce raisonnement toutefois tomberait en défaut si l'équation (4) avait des racines égales. Nous reviendrons sur ce cas tout à l'heure.
Si V est fractionnaire de la forme -? q el p étant premiers
entre eux, les valeurs approchées a, f', ao^^, ... ne seront
pas monodromes autour de l'origine; en effet, si l'on pose
p 5 i=z /«e^v/^i et si l'on fait varier B de 211, ^^ z= r^en ^~* sera
multiplié par e '/ ^ ^ et ne reprendra sa valeur primitive que quand le point ^ aura tourné q fois autour de l'origine (ou le points q fois autour du point a). Mais, les diverses valeurs approchées de T^ étant racines de cp(-/j, ^^) = o, il faut que ces valeurs se permutent les unes dans les autres; il en sera de même des valeurs exactes de v] , car elles ne diffèrent des valeurs approchées que de quantités infiniment moindres que celles dont elles diffèrent entre elles.
Les racines d'ordre v se partageront donc en groupes de racines se permutant les unes dans les autres, ou restant monodromes si v est entier. Cette conclusion ne tombera en défaut que si l'équation (4) a des racines égales.
Supposons donc que l'équation (4) ait des racines égales; changeons encore de variables et posons
l'équation (i) pourra s'écrire
£1 étant un infiniment petit; soit ol' une racirie multiple de
?(^', 0 = 0; posons
réqiiation précédente prendra la forme
A'^r^ désignant un coefficient constant. On discutera cette équation comme l'équation proposée.
En résumé, on voit qu'autour d'un point oii f(^x, y)= o acquiert des racines égales, les diverses valeurs de y qui deviennent égales se partagent en groupes de racines se permutant les unes dans les autres quand le point x tourne autour du point critique, un groupe pouvant d'ailleurs ne contenir qu'une seule racine, qui, par suite, est monodrome.
La discussion précédente ne s'applique pas au point situé
à l'infini ; mais, si ce point est critique, on posera x ^= — dans
l'équation f{x, jk) = o, et l'on étudiera facilement les variations de y provenant des variations de x dans le voisinage du point à l'infini en faisant varier le point .r' autour de l'origine. Il reste à examiner ce qui se passe autour d'un pôle de la fonction jK, c'est-à-dire autour d'un point qui rend cette fonction infinie; on le fera en changeant jk en —, dans l'équation
y(.r,jK)= o; les variations de jk' feront alors connaître celles dey.
