V. — Des lacets
Soit a(Jig. i)un point critique d'une fonction quelconque ; autour du point a comme centre décrivons un cercle BGD de
rayon infiniment petit, imaginons que l'on enlève une portion
infiniment petite DB de la circonférence et que l'on fasse partir de B et D deux lignes infiniment rapprochées l'une de l'autre, AB et DE ne se coupant pas, la figure ainsi formée porte le nom de lacet relatif au point critique a. Le lacet ainsi formé est censé parcouru dans un certain sens : ce sens est direct si le point décrivant a l'intérieur du lacet à sa gauche; le sens est rétrograde dans le cas contraire. D'ailleurs l'aire infiniment petite du lacet ne doit contenir aucun autre point critique que le point «, le contour même étant à ce point de vue censé faire partie intégrante de l'aire. Supposons le lacet parcouru dans le sens direct par un mobile qui partira alors du point A; ce point A est V origine ou Ventrée du lacet, le point E placé vis-à-vis en est Vextrémité ou la sortie, AB et DE sont les bords du lacet. Le bord que l'on parcourt en ayant l'aire du lacet à gauche ou quand on chemine dans le sens direct est le bord droit, l'autre est le bord gauche; on dit aussi la droite et la gauche du lacet. La portion BCD est la circonférence du lacet.
VI. — Variation d'une fonction algébrique le long d'un contour quelconque.
Considérons maintenant un chemin quelconque G allant de Xç, en x^ ; donnons-nous en Xç^ la valeur initiale de la fonction algébrique y, et proposons-nous de calculer la valeur queprendra j-en^,, si l'on fait suivre à la variables le chemin donné G.
Observons à cet effet que l'on peut remplacer le chemin G par un autre G' provenant de la déformation continue du premier, pourvu que, entre deux chemins successifs conduisant de la forme G à la forme G', il n'existe aucun point critique algébrique de la fonction jk; oi^ij si l'on veut, pourvu que, dans sa déformation, le chemin ne rencontre aucun point critique algébrique, car entre ces deux chemins successifs la fonction restera monodrome.
Imaginons qu'en chaque point critique on plante un piquet
THÉORIE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 3l
rond et que, attachant un fil en Xq, on lui fasse suivre le contour donné G et traverser un anneau planté en Xt ; cela fait, tirons le fil en Xi de manière à le tendre; en se déformant, ce fîl figurera divers chemins conduisant à la même valeur dej>^enC, que le contour primitif ; car jamais le fil ne pourra franchir un point critique, grâce à l'action des piquets fichés en ces points; considérons alors le fil complètement tendu; il affecte la forme d'un polygone ayant ses sommets en Xq, en Xi et aux points critiques : seulement quelques cotés pourront être formés de la juxtaposition de plusieurs brins; de même les piquets plantés aux points critiques pourront être partiellement embrassés ou complètement entourés une ou plusieurs fois par le fil.
Imaginons alors que, laissant le fil libre de glisser dans l'anneau ^,, on vienne pincer chaque côté du polygone et tirer le fil de manière à l'amener en Xq ; enfin, entre le fil et chaque piquet embrassé par le fil, introduisons un piquet et tirons avec ce nouveau piquet de manière à amener le fil en Xq la nouvelle figure affectée alors par le fil constituera encore un chemin équivalent à C, mais ce chemin est évidemment composé de lacets suivis du chemin rectiligne XoXi ; donc :
Théorème. — Quand il s'agit de savoir quelle valeur prend une fonction algébrique y en un point x^ quand la variable suit un chemin Xo x^ , la valeur dey au point de départ étant y q^ on peut remplacer ce chemin par un autre f orme d' une série de lacets ayant leur origine enx^ et du chemin rectiligne Xq x^ .
11 ne reste plus qu'à étudier l'effet d'un lacet. Supposons qu'à l'entrée du lacet la valeur de la fonction y soit jKo ; lorsque la variable x, suivant le bord droit, sera arrivée sur le petit cercle /, elle y acquerra la valeur j^^ ; quand la variable x aura décrit le petit cercle et sera venue sur le bord gauche du lacet, ou bien y reprendra la valeur j-'y et le point critique sera de nul effet sur la valeur considérée de y^ ou bien y acquerra la valeur y', différente de y'^ et le long du bord
gauche du lacet j^ prendra des valeurs différentes de celles qu'il avait sur le bord droit, car le long des bords du lacet il n'existe pas de point pour lesquels la différence de deux valeurs de y soit infiniment petite; y reviendra donc en Xq avec une valeur différente de sa valeur initiale.
Dans le premier cas, on dit que le lacet est inactif; dans le second, il est actif.
Théorème. — Si l'on part du point Xq avec la valeur initiale y ^ dey, il existera toujours un contour fermé tel qu'en revenant en Xq après V avoir parcouru, y prenne une quelconque y i des valeurs y\t y-it . . • , y m racines de r équation f{xQ^ y)= o,
désignant V équation irréductible qui définit y.
En effet, supposons que jr ne puisse prendre en Xç^ que les valeurs jKnJKs? • • • ? y h ^ étant < m, lesquelles se permuteront alors exclusivement les unes dans les autres. Formons les fonctions symétriques
l'équation
définira une fonction algébrique de x de degré i < m, car A, , A2, . . . sont des fonctions rationnelles de ^; en effet, elles sont monodromes, monogènes, et n'admettent qu'un nombre limité d'infinis, qui sont ceux de y^, y^, . . .,yi. Mais ceci est absurde : en effet, l'équation irréductible (i) admettrait pour diviseur le premier membre de (2) qui est rationnel et peut se mettre sous la forme entière.
VII. — Développement d'une fonction algébrique dans le voisinage d'un point critique.
Soit ^ = a, y ^ ^ un point critique pour la fonction y algébrique définie par l'équation irréductible
les diverses valeurs dej^ autour de ce point sont les unes monodromes, les autres susceptibles de se permuter entre elles autour du point a. Les premières sont développables par la formule de Taylor, nous n'avons rien à en dire; les autres se partagent en groupes, et, dans chaque groupe, toutes les racines de ce groupe se permutent circulairement les unes dans les autres quand le point x tourne autour de a. Soient jKi, y-ij ' ' ' •) yi l^s valeurs de y qui se permutent ainsi les unes dans les autres et qui forment un groupe ; posons x — a=^t\ y^ par exemple, pourra être considéré comme fonction de t\ or, quand le point x a effectué i révolutions autour du point a,
- [x — a)' ou t a repris sa valeur initiale, ainsi que y^ ; doncy^
est fonction monodrome de t et, par suite, il est développable
suivant les puissances de t. On peut donc poser
ou
Ainsi, en général, dans le voisinage d'un point critique a, qui n'est pas un infini, la fonction algébrique est développable suivant les puissances entières d'une racine de X — a.
Le développement peut d'ailleurs servir à représenter tout un groupe de racines.
Si le point a est un infini, sans être un point critique algébrique, le développement de y pourra se faire suivant les puissances positives et négatives entières de x — a; si le L. — Traité d'Analyse^ IV. 3
point a est à la fois un pôle et un point de ramification, le développement aura lieu suivant les puissances positives et négatives d'une racine de ^ — a.
Disons enfin que, de la théorie des asymptotes, il résulte que, en général, il existe, pour ^ = 00, des développements de la fonction y sous la forme
^=G^-^Go
G, Co, G,, ... désignant des constantes, si le pointa l'infini n'est pas critique; s'il est critique, on aura les développements correspondants en changeant ^ en - et jk en - dans l'équation qui sert à définir la fonction y.
