III. — Théorème fondamental de Gallois

Soient

une équation algébrique, Xq^ x^^ ..., Xn^ ses racines; soit

une fonction rationnelle de ces racines qui prenne n\ valeurs distinctes quand on permute les lettres Xq, x^^ . , . , x,i-\ ; si les racines ^Tq, ^o • • • ? *^«-i -^o/i^ inégales, on pourra exprimer Xq, ^,, x^, . . . rationnellement ou moyen de V.

[La' fonction f{x) n'est pas nécessairement irréductible.] En effet, permutons dans Vies racines :ri, ^2? .••7^/?'i de toutes les manières possibles, V prendra 1.2. ..(/z — 0^=1^ valeurs distinctes Vo, Vi , . . ., \^^\ et l'équation

(V-Vo)(V-VO...(V-Vj,0=o,

qui aura pour racines Vo, Vj, . . . , pourra se mettre sous la forme

F(V, ^0) désignant une fonction rationnelle de V et de Xq: car les coefficients de cette équation en V sont fonctions symétriques des racines x^^ X2, . • . , Xn-{ de l'équation

X — Xq

et sont rationnels en Xq. Mais, l'équation (2) ayant pour racine Vo, on a

F(Vo, xo) = o.

Donc l'équation

(3) F(Vo,^) = o

a pour racine Xq ; les équations (i) et (3) ont donc une racine commune. Je dis qu'elles n'en ont qu'une, et, en effet, si elles en avaient une autre, x^ par exemple, on aurait

F(Vo, :r,)=o,

ce qui est absurde, car on a

F(V, ^o)-(V-Vo)(V-Vi)...

et, en changeant Xq en x^ et x^ en Xq^

F(V, :rO-(V-V'o)(V-Vi)...,

V'q,V',, . . . désignant ce que deviennent Vo,Vi, . . . quand on permute Xq et x^. Ces valeurs par hypothèse sont différentes de Vq, V, , . . . , donc on ne saurait avoir F( Vo, ^i ) = o ; les équations (i), (3) n'ont donc que la seule racine commune ^o;

que l'on pourra trouver par les méthodes connues, et qui sera fonction rationnelle de Vo : on aura de même les autres racines.

Remarque. — Xq, ^, , . . . , œn-\ étant fonctions rationnelles de Vo, V, sera fonction rationnelle de Vo : on voit donc que toutes les racines de l'équation F(V, ûOq) s'expriment rationnellement au moyen de l'une d'elles.

Corollaire I. — Etant données tant de fonctions algébriques que Von voudra, on peut les considérer comme fonctions rationnelles dhine même fonction algébrique.

Si les fonctions algébriques données sont distinctes, on pourra toujours former une équation (E) réductible ou non, admettant ces fonctions algébriques pour racines et n'ayant pas de racines égales: il suffira pour cela de multiplier entre elles les équations irréductibles auxquelles satisfont les fonctions données. L'équation résultante n'aura pas de racines égales, car les équations irréductibles données n'ont pas non plus de racines doubles; sans quoi elles admettraient des diviseurs rationnels fournis par la méthode des racines égales ; les équations irréductibles en question n^ont pas non plus de racines communes, sans quoi elles ne seraient pas distinctes, et l'on n'emploiera une équation irréductible qu'une fois, quand deux des fonctions données satisferont à cette équation.

Alors, en vertu du théorème que nous venons d'établir, les racines de l'équation (E), parmi lesquelles sont nos fonctions algébriques données, pourront s'exprimer en fonction rationnelle d'une fonction des racines de (E) convenablement choisie.