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Les fonctions cp et ^ sont ce que l'on appelle les fonctions modulaires. Elles ont été étudiées par M. Hermhe {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, i858). Liouville s'était occupé, dès 1840, des fonctions K et K' considérées comme fonctions de k^ (Comptes rendus de l'A cadémie des Sciences, 1840; reproduit dans son Journal, même année); il a prouvé que ces fonctions ne sauraient être réductibles aux fonctions algébriques.

Première propriété. — Les fonctions modulaires sont monodromes et monogènes dans toute l'étendue du demiplan situé à droite de l'axe des y] elles ne sont pas définies pour les valeurs de p situées à gauche de cet axe; le point à l'infini est un point essentiel.

C'est ce qui résulte de leur définition même par les équations (3) et (4).

Deuxième PROPRIÉTÉ. — Si l'on écrit les formules (3) et (4) en mettant à la place de/> et g leurs valeurs (5), on voit que l'on a

Troisième propriété. — On a évidemment aussi

et, par conséquent,

il en résulte' que ^{^) se reproduit au facteur e * près, quand on change ^ en ^ -\~ 1 \J — i : donc o^ {^) a pour période 1 sj — I .

Quatrième propriété. — On a donc (j;(p) a pour période 2 \J — i.

FONCTIONS MODULAIRES. 3o3

Cinquième propriété. — Quand on remplace dans le calcul de k les périodes 4K et aK^y^ — i par d'autres périodes elliptiques, k conserve la même valeur^ donc, quand on pose