OÙ /:- = X

K et K' sont des fonctions sjnectiques de â:- = ^ quand le point X n'est pas contenu dans un contour fermé renfermant

l'un des points o, i. Il en est de même de -f^ ::== rni^x).

Examinons ce qui se passe autour du point o. On peut développer K en série ordonnée suivant les puissances de â:^, et l'on a

3o4 CHAPITRE IX.

mais l'équation (6) du § I, à savoir

K'dK — KdK' TT <^) dl =M^'

divisée par la précédente élevée au carré, donne

K dp i I [ /iVj, 1-2

Il en résulte que ~ est développable sous la forme

et que l'on a

I /, A- . A2 A* , kl ^ Aè \

'^ '^ TT V ^ Ao '2 4 2 4 / '

A-Q, po, A, B, ... désignant des constantes. On voit que

— m(x)-hw(X(,)= — log h A h. . .

et, par conséquent, m{œ) prend autour du point o une infinité de valeurs qui se permutent les unes dans les autres

comme les valeurs de locr —

2 TU ^Xo

Pour voir comment se comporte la fonction m(x) dans le voisinage du point ^ = i , on développera R' suivant les puissances de A:', et l'on aura

K'=.[.+(iyA-+...]

et, en faisant usage de la formule (A.) déjà employée tout à

l'heure, on trouve

dk ~ rJik^

OU

dk' TT A

FONCTIONS MODULAIRES. 3o5

et, en intégrant,

OU

— ■m{x)—T^5{XQ) = - log-T- -4- A

2 Tt 1 JyQ

et TJ5[x) se comporte dans le voisinage du point i comme la fonction loir ^ •