IV. — Théorème de M. Picard
Théorème I. — Soit G{x) une fonction synectique dans toute V étendue du plan, mais possédant un point essentiel à U infini; si a et h sont des nombres tels qu'il n'existe pas de valeur finie de x^ telle que U on ait G'{x) =z a, G(^)= è, la fonction G(^) se réduira à une constante.
On peut, sans nuire à la généralité, supposer <2 = o, 6 = i ; car, si f(x) est une fonction qui ne passe ni par la valeur a
ni par la valeur b, il existera une fonction G(^)= "^ , '
qui ne passera ni par la valeur o ni par la valeur i pour des valeurs finies de x. Nous sommes donc ramenés à démontrer que, si une fonction G(^) ne passe ni par la valeur o ni par la valeur i, elle est constante.
A cet effet, considérons la fonction ïï7[G(^)], w(^) dési- L. — Traité d'Analyse, IV. 20
3o6 CHAPITRE IX.
gnant la fonction modulaire inverse étudiée au paragraphe précédent. Cette fonction tu [G(^)] est monodrome ; en effet, G(^) ne devient jamais égale à o ou i . Alors, quand le point x décrit un contour fermé G, le point ^[G(^)] décrit un contour correspondant G'; si l'on suppose que le contour G se déforme et devienne infiniment petit, le contour G^ se déforme aussi sans jamais franchir les points o, i et devient lui-même infiniment petit. Les valeurs initiale et finale de G(^) et de w[G(j:)] sont restées les mêmes, et comme, en dernier lieu, elles sont infiniment peu difTérentes, il faut qu'elles soient restées les mêmes : le contour G' est donc fermé, et la fonction 735 [G(^)] est monodrome dans toute l'étendue du plan. Mais la fonction e~^^^'^'^ est synectique dans toute l'étendue du plan ; comme 7rj[G(.r)], elle a un module toujours inférieur à un, puisque la fonction tîj a sa partie réelle positive; donc g-cT[G(x)]^ ayant un module toujours inférieur à une quantité finie, est une constante; donc 7îj[G(^)] est une constante, donc enfin G(^) se réduit aussi à une constante.
Théorème II. — Soit f{x) une fonction qui nUv d^ autres points singuliers à distance finie que des pôles et qui est d'ailleurs toujours monodrome et monogène : il ne peut y avoir plus de deux valeurs finies a et b que f{x) ne puisse prendre pour des valeurs finies de x.
Si la fonction y n'a que des pôles, elle peut se mettre sous la forme /(jr)= r i \'' ^* ^^ ^^ désignant des fonctions synectiques dans toute l'étendue du plan (t. III, p. 371); or, /(^) ne passant ni par la valeur a ni par la valeur b^ on
n'aura jamais
Gi — <2 G2 = o, Gi — 6 G2 = o :
donc on peut poser
Gi — a G2 = ei', Gi — 6 G2 = eQ,
FONCTIONS MODULAIRES. 807
P et Q désignant des fonctions synectiques dans toute l'étendue du plan; par suite,
be^ — aeQ e^ — eQ
et
Je dis maintenant que l'on peut satisfaire à l'équation
be^ — ae^ a — c
c^est-à-dire que l'on peut prendre f{x) égal à c. Gomme a, b, c sont des nombres différents, -, — — n'est ni nul ni infini : en le désignant par A, l'équation précédente donne
P — Q = logA -4- 2mTT / — r.
Or la fonction P — Q n'a qu'un point critique au plus et à l'infini, il n'y a qu'une valeur qu'elle ne puisse prendre; elle pourra donc prendre l'une des valeurs de log A + 2 miz y^ — i à moins d'être constante, mais alors la fonction f{x) ellemême serait une constante; donc, etc. c. Q. F. D.
Ces deux théorèmes ont été démontrés par M. Picard {Annales de V École Normale, 2® série, t. IX; 1880) qui leur a donné une certaine extension. Il serait bien à désirer que l'on affranchît leur démonstration de la considération des fonctions elliptiques.
