V. — Sur le problème de la transformation

Le problème de la transformation, tel que l'a posé Jacobi dans les Fundamenta nova, semble surtout avoir pour but la simplification des intégrales elliptiques et leur réduction aux types définitifs, canoniques, si je puis m'exprimer ainsi; mais le problème de la transformation conduit à l'étude des

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fonctions elliptiques, considérées comme fonctions du module.

Nous restreindrons le problème de la transformation au cas particulier que voici :

Etant donnée l^ équation différentielle

/,X "^ ^ <fy ^

trouver dans quels cas y peut être fonction algébrique dexet, quand y est fonction algébrique dex^ déterminer cette fonction.

C'est A.bel qui a posé la question en ces termes et qui a donné en même temps les moyens de la résoudre; Jacobi supposait seulement, comme on se le rappelle, y fonction rationnelle de x. Si nous désignons, pour abréger, par A(^, k) le radical y/(i — x-){\ — k^x"^)^ l'équation (i) donnera, en appelant a une constante et en égalant chacun de ses deux .membres à dz^

d'où l'on tire

x=zsn{z,k), y = sn{§:iz-ha, kl).

Le problème de la transformation, tel qu'il a été posé par Abel, peut donc s'énoncer ainsi :

Etant donné un module A, déterminer un jiouveau module ki , tel que sn(^, s -H a, Ai ) soit lié à sn[z, k) au moyen d^ut^e équation algébrique.

Nous nous occuperons seulement du cas où sn( «-, ^ + a, kC) peut s'exprimer rationnellement en fonction de sn(s, k) ou sn^, auquel nous adjoindrons cn;j et dn^.

Ainsi, en définitive, le problème de la transformation pour nous va consister à :

Calculer sn{giZ,ki), cn{g^z, ki)j dn{g^z, k^), en fonc-

FONCTIONS MODULAIRES. Sog

tion rationnelle de sn(^, A), cn(^, A"), dn(.3, A-), toutes les fois que ce sera possible, et à déterminer les cas dans lesquels la solution est possible.