VI. — Réduction du problème

Désignons par 4K- et 4KV — ^ "^ système de périodes elliptiques (p. 262) commun aux trois fonctions sn(^, A"),

cn(^, A"), dn(;r, A), et par 4K-i> 4K.'rV/ — ^ ^^^ système de périodes elliptiques commun aux trois fonctions sn {g^ ^, A:, ), cn(o-,^, A,), dn(^,^, A:i). Les dernières fonctions devant s'exprimer rationnellement au moyen des premières, il faudra que Ton ait, a, b, a', b' désignant des entiers,

K = aKi-i-6K'i/^,

K' /^ = «' Kl H- 6' K'i /=7,

et, si l'on suppose les parties réelles des rapports -^ ? — positives,

ab' — ba' = ô sera positif.

Pour résoudre le problème de la transformation, nous le décomposerons en d'autres plus simples.

Soient D le plus grand commun diviseur de a et 6, et — = a,

— z= P; soient a' et ^' deux entiers satisfaisant à

a|3'— pa'=i.

Posons

K2 = aKi+i3K', /=^,

K'2 /^ = a'K, + P'K; v/ITT ;

on en déduira

et, par conséquent,

K = DK2,

3lO CHAPITRE IX.

Il résulte de là que l'on pourra effectuer la transformation en plusieurs fois et passer successivement des fonctions aux périodes 4K<> 4ï^'iV/ — ' ^^^ fonctions ayant pour périodes 4 Ko, 4^-2^/ — I , . . . , aux fonctions ayant pour périodes 4K, 4K.'y/ — I, ces périodes étant liées les unes aux autres par les relations

K'av/— i^K'av/— i(a^'— pa'), K4 = K3,

K = DK2,

"' i K'v/=:T=Kiv/:^.

Les modules des substitutions (i) et (3) sont égaux à un; quant aux substitutions (2) et (4), elles s'effectuent en conservant une période et en divisant l'autre par un entier; nous voilà donc ramenés à étudier deux espèces de transformations : i ° celles pour lesquelles la substitution entre les périodes est unimodulaire ; 2° celles dans lesquelles on divise l'une des périodes par un nombre entier, et même par un entier premier; car celles-là peuvent s'effectuer au moyen de plusieurs autres dans lesquelles on divise successivement la même période par des nombres premiers.

VIL — Transformations fournies par des substitutions unimodulaires entre les périodes.

Les transformations que nous allons étudier correspondent à des relations de la forme

K = aKi4-pK;v/-i,

FONCTIONS MODULAIRES. 3ll

entre les périodes, avec la relation

JNous les partagerons en six classes, d'après les restes de la division de a, p, a', ^' par 2 compatibles avec la condition aj3' — ^ol'=i, qui exige que, si l'un des nombres a, P' est divisible par 2, aucun des nombres p, a' ne le soit et vice versa :

i""^ classe a ^ I,

le signe ^ représentant une égalité dans laquelle on a négligé les multiples de 2.

Or je dis que toutes ces transformations se ramènent à la première classe; si, en effet, après avoir effectué une transformation de première classe

K2 = aKi+pK;v/-i,

on effectue la nouvelle transformation K = K2,

on aura

K = aKi-r-^K;v/ — I, KV=^ = (a + a')K, + (p + 13')K',v/^;

les nouvelles valeurs des coefficients sont, en négligeant les multiples de 2,

la transformation (A) est donc de seconde classe. On verra

de même que, si 1 on eliectue une transiormation de première classe, puis la transformation

on obtiendra une transformation de troisième classe.

Après avoir effectué une transformation de première, de seconde ou de troisième classe, il suffît de faire

pour obtenir respectivement une transformation de sixième, de quatrième ou de cinquième classe.

Ainsi toutes les transformations possibles se ramènent :

1° A des transformations de la forme

K — (2m-h i)Ki-h 2n K\ \J — i,

K'/— I = 2m'Ki4-(2/i'+ i)K'j y/ — i,

m-{- n étant divisible par 4, afin que l'on ait

(2m-i-i)(2/i'-M) — fj^nni! = i

et que les rapports -j^ et ^ soient positifs ;

1^ A des transformations de la forme

K = Kl 4- K'i v/~ ou = Kl,

K'v/^=K'iv/^ ou -Ki + K;/^;

3° A des transformations de la forme

K = k; /=^, K'v/=T=Ki;

4'' A des transformations dans lesquelles on multiplie une seule période par un nombre premier.

FONCTIONS MODULAIRES. 3l3

VIII. — Méthode générale pour effectuer les transformations précédentes.

Considérons une transformation quelconque représentée par la substitution unimodulaire

Appelons 0', H'; B'^, H'^ ce que deviennent les fonctions 0, H, 0,, H^ quand on remplace les périodes 4K. et 4K.'y/ — i par 4Ki et ^K.\ y/ — i ; les premières fonctions ont les mêmes zéros que les secondes. Ainsi 0' a les mêmes zéros que l'une des fonctions 0, H, 0i, H< : donc ces fonctions, à l'ordre près, sont égales deux à deux, à un facteur exponentiel près de la forme (p. 233)

gAa-î+B.r+C

A, B, G désignant des constantes. Supposons, par exemple,

les fonctions 0, et H sont paires ou impaires : donc elles doivent être toutes deux de même parité et B doit être nul. Ainsi

donc, en augmentant x de la période /^K,

e\ (a? -f- 4 a Kl -+- 4 p K', /^ = H (^ ) eA(j:+4K)»+c ■

mais

e'i (^ -H 4aK, -h 4 ^k; /— I ) = e; (:r -I- 4 ^K'/^)

^, . , - ' ' U+Kiv/-l)

3l4 CHAPITRE IX.

donc l'équation précédente devient et, en tenant compte de (A),

g ÎÏ; U+Kiv/-i; ^8^ka-+16AKî+C

On a donc

— 9.[Buv/-T ^^ ^ j^,^ ^/— Y^ ^ g^j^^ ^ I6AK2+ C + i\tz v/~,

X désignant un entier; on en déduit

ou

A- P^V^^ 4KKi

Quant à la constante G, on la déterminera en faisant x ^^o\ au nombre iXiz \J — i près, elle est la même pour les quatre formules analogues à (A), et, comme ce nombre 2X71 yj — i peut être négligé, on peut la regarder comme étant la même pour les quatre formules en question.

S'il s'agit d'une transformation de première classe, 0', H', 0, , H'^ sont proportionnels à 0, H, 0i, H<, car ils ont, en vertu des formules

K = ( 3. m + I ) K] -h 2 71 K 1 / — I , K'y/ — I = 2/n'Ki4-(2 7i'-f-i)K\ /— i,

les mêmes zéros respectivement; on a donc

\/kisn(giX, ki)= \//csn(x, k),

FONCTIONS MODULAIRES. 3l5

Si l'on fait x =z o dans ces deux formules après avoir divisé la première par ^, on trouve

donc Â:^ = /{•,, g^^=l] alors la transformation ne présente rien d'intéressant.

S'il s'agit d'une transformation dans laquelle on conserve une période, une méthode analogue montre que gi= dz k et k^k^^^ := I , et que l'on a

sn ( ku, jj = k snu,

en ( ku, j] = dnu,

dn (ku, jj=:Cï\u',

s'il s'agit d'une transformation dans laquellp on permute les périodes, si l'on pose, par exemple,

on trouve

k = k;v/-i, kV— i = — Kl,

ki = k^, g, = ±^/^r,^

l I /A / sn(a7, k)

sn (a; y/— I , k)^ /— i — , , ( >

cn(a7 /— I, k) =:

en (37, k)

dn(;r y/— 1. k)=^ — ; , , •

^ ' en(a7, A')