IX. — Division d'une période par deux
Le problème de la division des périodes pourrait être résolu par le théorème de Liouville, puisque, tel que nous l'avons présenté, il permet de calculer, par exemple, un sinus amplitude en fonction d'un autre qui a une période m fois plus grande, c'est-à-dire, en définitive, ayant avec lui une période
3l6 CHAPITRE IX.
commune. Mais on donne ordinairement une autre solution de la question.
Proposons-nous tout d'abord de calculer les fonctions ellip-
rr
liques relatives aux cjuantités — et R^ en fonction de celles
qui sont relatives aux quantités K et K^ Soient 8^'^, H'^^, 0'/', H'^^' ce que deviennent les fonctions auxiliaires 0, H,
01 , H< quand on y remplace K par — ; soient sn, gx, cn< gx,
du]^^ ce que deviennent par ce même changement sn^, cn.r, dn;r; soient enfin ki et k\ les nouveaux modules.
Les fonctions 0^^^, 00< et HHi satisfont toutes les trois aux équations
l'une d'elles est alors une fonction linéaire des deux autres, et l'on a •
On déterminera la constante B en faisant x=^K.'\/ — i; S{œ) et 0(^^(^) s'annulant, on a B = o et, par suite, la formule précédente ae réduit à
0(i^(^)= A0(:r)ei(:r); en changeant .r en jj; -f- — ou en ^ + K^y/^ i ou en
on obtient le groupe
e^^^{x) = Ae{x)ei(x),
FONCTIONS MODULAIRES. 817
si l'on se reporte alors aux formules d'additioa (p. 269), on peut écrire
H(i^(ir)= AH(a^)Hi(a7),
La constante A se déterminerait, par exemple, en faisant X = 0 dans la première formule. On tire de ces formules, par division.
\/ki SUi g' X = /c
sr\x cna?
dn;r
A"! j /-r-, \1 J Sn^a? rj-, \l J I
• , /y-, \ -^ / I j ;j-, \'i sn2 ir
v/A; ^^ ^ 02(0) dna? ^ 02 (o) dna?
Les constantes ©(-) et H( — ) s'obtiennent en faisant
^ = <7 = — dans les formules d'addition qui donnent
0(^-f- a)0(:r — «) et
Si l'on divise par x la première formule et si l'on fait x=:o^ on a
et le problème de la transformation est encore résolu dans ce
3l8 CHAPITRE IX.
"•(?) .. Kt)
cas. Il reste à calculer ^,,, ^ et ^., , , • Appelons ces qiian-
tités œ et y, en faisant x = a=i - dans la formule (p. 269) qui donne 0(^ — a) 0(^4- a); on trouve
la formule (2) (p. ^56) donne ensuite
d'où l'on tire ^r et y en fonction de k et k' si l'on y tient.
La division de l'autre période par 2 s'effectue d'une façon analogue : appelons 6^*^, H^'^, S\^\ R\^^ ce que deviennent
les fonctions auxiliaires quand on remplace K' par — Les
fonctions
et
satisfont aux équations
e(x-+-2KV— l) = e K ;
on a donc
-.Be.(.-.^)e,(.-£^),
K' J I A et B désignant deux constantes. Si l'on fait x = — ,
6^<^(jc) s'annule ainsi que le coefficient de A, donc B = o, donc
FONCTIONS MODULAIRES. SlQ
Changeant jc en jc + K, ^ H '^ ? ^ + K -1 ^^^ , on
a trois autres formules qui, traitées comme tout à l'heure ont été traitées les formules analogues, fourniront la solution du problème de la transformation pour le cas qui nous occupe.
