X. — Division d'une période par un nombre impair

Supposons K, = — ? n désignant un nombre impair, et K', = K'; désignons toujours par 0^'^, H^^^, %^^\ H^^'* ce que deviennent 0, H, 0< , Hi quand on y remplace R par K, = — . Si l'on considère les fonctions

0(i^(^) et JT 0/'^+^2kV

ces deux fonctions satisfont aux relations

0(;rH-K)=O(^),

leur rapport est donc doublement périodique. En outre, les deux fonctions en question ont les mêmes zéros : leur rapport est donc fini et, par suite, se réduit à une constante A; on peut donc écrire

e'^i) {x) = A JJ©! (^+ ^ =^kV

H(i)(;r)==(-i)VAjJil/^+^2KV

Si, dans ces formules, on réunit les facteurs correspondan à des valeurs de m égales et de signes contraires, on a, en faisant usage des formules (p. 269),

et A se calcule en faisant ^ = o.

Les produits ont cette fois pour limites i et Par division, on obtient ^^n^gx^ cw^gx^ àw^gx en fonction de sn.r, cnjc, dn^ :

sn2 — -iK — sii2:r n

^^ cn,^^ = (!)%„ ^Jl"

en- — 2K H- cn-^ n

I — A-sn^ — 2K sn^^ n

-i.dn,^^ = (l) ànœJl

sPÂ

2 , dn2-2K + dn2^

I — A-2sn2 — 2Ksn2^

Si, dans la première formule, on fait x =^0 après avoir divisé par Xj il vient

v/Â;^ = A?JJsn2^2K; en faisant x ^= o dans les autres, on a

FONCTIONS MODULAIRES.

On tire de ces dernières équations

en» — 2K n

dn8-2K

On diviserait d'une façon analogue la période K.' par un nombre impair.

Les modules A"i et k des fonctions sn^gx et sn^ sont liés entre eux par la relation {m)\ cette relation est ce que l'on appelle V équation modulaire ; elle tient une place importante dans la théorie des équations et nous n'avons pas à nous en occuper ici.