I. — Sur les arcs d'ellipse

C'est l'étude des arcs d'ellipse qui a donné naissance à la théorie des fonctions elliptiques; c'est par l'étude des arcs d'ellipse que nous commencerons les applications géométriques de cette théorie.

Nous poserons avec Legendre

Jq y \ — k^ sin2 çp et nous aurons

(2) sincp r= snF, cp = amF; nous poserons aussi

(3) . / /, — A-2sin2cp«^cp = E(cp) = E(Â-, (p);

nous trouverons alors

r"^ d'^ r? A-2sin2cp

E(?)= / -7==="/ ^ e/cp.

J^ /i — A2sin2cp Jo /i — /:2sin2cp

Nous désignerons la seconde intégrale par J(cp); nous aurons ainsi

(4) E(ç)=F(cp)-J(cp) ou J(cp)z=F(c^:)-E(cp). D'ailleurs on a

(5) J(amF}=Z(F).

Considérons une ellipse d'axes ia et 2 6; elle peut être représentée par les équations

on en conclut, en appelant 5 l'arc,

ds = \/a^ cos^cp -f- 62 sin'^cp c?çp ou, en comptant l'arc à partir du sommet,

/ /a^cos^cp -|-è2sin2cp â?cp a I v^i — A^sin^cp â?cp.

5 = ou

En posant

on a donc

.= E(cp)=F(cp)J(cp),

si l'on suppose a= i; E(cp) représente, comme on voit, l'arc d'ellipse. Si l'on prend F pour variable, on a, pour représenter l'ellipse, les équations

( a? = snF, y — bcnF = A'cnF,