II. — Théorème de Fagnano
Si, dans les formules d'addition des fonctions de seconde espèce
Z(x ■+■ y)— Z( x) ~ Z(y) — k^snxsnj^sn(x -hy),
on pose z> = am^r, •]> = amy, on trouve, en vertu de (5),
J(cp -r-tj') — J(cp)— J(i];) zz: /:2sincp simj; sin(cp-|- (];) OU, en vertu de (4),
F(cp + <];) — E(cp^t].) F(cp)-F(^) H- E(cp) + £((];) = A-2sincp sin<|^ sin(cp -i- 4^);
en observant que F(cp -+- '}) = F(cp) -f- F(^), puisque
cp = amF(cp), (^ = amF(4;)
et
çpH-(li = amF(cp + ^};),
on a simplement
E(cp -h <^) — E(cp) — E(4^) = — A'^sinç sint|> sin(cf -+- (!;):
si l'on fait cp -i- «L = - et si l'on appelle 4E le périmètre total de l'ellipse de demi-axes i et A', on a
E — E('f) — E{^)= — A^sincpsintl;.
Cette formule montre que les arcs E — E(cp) etE(tj>) ont une différence rectifiable. Les anomalies ^ et ^j> des extrémités de ces arcs sont liées par la formule
- =: coscp cos']> — sincp sin^* ( i — A^ sin^- j
OU
o = cos^ costj; — sin cp siinj^A'
OU
tangcp tang(|; = —,»
De là découle le théorème de Fagnano :
Théorème. — Soient o et à deux anomalies telles que
tangcp tang^|> = ~;
les points M e^ N qu^ elles déterminent sur l'ellipse sont les extrémités de deux arcs comptés Vun à partir d'un sommet relatif au petit axe. Vautre à partir du sommet relatif au grand axe ; la différence de ces arcs sera rectifiable.
Nous allons donner sous une forme élégante l'expression de cette différence : l'équation de la normale à l'ellipse est
a? coscp — A'jK sincp — A^ sincp coscp =o;
la dislance l du centre à cette normale est
A"2 sin ç cos cp
/i — A2sin2cp
Si l'on se donne /, on en déduit deux valeurs cp et tj^ pour l'anomalie o données par l'équation
tang^cp + tang2<p ^^^ + i - ^—j + = o;
on en conclut
(i) tangcptangt};= ^, tang^cp + tanga^j; = — ^ — 1+ ^^.
La différence que nous voulons évaluer est
A-2 sincp siin];, dont le carré est
tang2çp tang^t};
A'^sin^cp sin^t]; = 4A-4
