VIII. — Des cycles

Soit

A ^'« -^ B /fi + G ^T + . . .

une série ordonnée suivant les puissances entières positives et croissantes de t^ dans laquelle A et m sont différents de zéro, et où A, B, G, ... sont indépendants de t\ supposons cette série convergente dans un cercle de rayon fini ou infini décrit de l'origine comme centre, la courbe ou la portion de courbe représentée par l'équation

(i) jK — ^ = A(^ — a)«-^ B(^ — a)«H-. . .,

a, b désignant des constantes quelconques et n un entier positif, est ce que l'on appelle un cycle. Ge cycle peut aussi être représenté par les deux équations

(2) x — a = t<', jK — è = A/'«+ B/P + G/T-f-...,

et nous supposerons que les nombres /??, (ii, y, . , . , n n'ont pas de diviseur commun.

En vertu de la théorie que nous avons exposée aux para-

graphes précédenls, t pourra se développer en série ordonnée

suivant les puissances de (jk — b)'"' et, par suite, x — a aussi, en sorte que le cycle pourra de même être représenté par une équation de la forme

X — a = A'(jK— by"-\- B'(jK — b)"^-^. . .,

A', B', . . . désignant des constantes, m, n, p^ ... des entiers. Soumettons le cycle (i) à une transformation de coordonnées tout à fait générale, transportons l'origine en un point quelconque a', b' et appelons x'^y' les nouvelles coordonnées; les formules de transformation seront

x' — a' = "k ( X — a) + [J- ( J^ — b), y - b' =l\x - a)-^ ix'{y—b),

\^ (JL, V, Y-' désignant des constantes. Ces formules donnent

x'—a'=\ V^ -f- ij. A V'^ -I- . . . , y'—b'= V t>^ + [jl' a ^'« -f-

Si les formules de la transformation des coordonnées sont tout à fait générales, x' — a! et y' — b' sont développables en séries ordonnées suivant les puissances entières de t et les premiers termes de ces séries seront du même ordre par rapport à t.

Il faut conclure de là que, siles axes de coordonnées sont quelconques, les nombres m et n sont égaux et l'on a

x — a = t", ;K — 6 = Ai«-4-B^«+iH-

Effectuons encore une transformation de coordonnées ; on aura

et, si l'on détermine la transformation de manière que

X'h- jx'A =o,

le premier terme du développement àe y sera d'ordre supé-

rieur au premier terme du développement de x. L'ordre du premier terme du développement de x ne peut pas s'élever en même temps, car il faudrait qu'on pût l'abaisser par une transformation inverse, ce qui est impossible; c'est d'ailleurs ce que l'on vérifie directement en mettant à la place de 1, [jl, V, |jl' leurs valeurs en fonction des angles dont les axes ont tourné. Quoi qu'il en soit, par un choix convenable d'axes, les équations du cycle pourront être présentées sous la forme

y — h = k. t>^^^ -r- B ^«+v+i H- . . . , X — a=UV^ -(- N ^«+1 -f- . . . ,

A, B, . . ., M, N, ... désignant des constantes, ou sous la forme

(3) y — b = Q{x~-a)"^Y{ix~a) " -h... ou encore

(4) ^ — « = /", JK — 6 = A^«+''-H B^«+v+l 4. ^

G, H, . . . , A, ... désignant toujours des constantes.

Lorsqu'un cycle est représenté par une équation de la forme (3) ou (4) (si les fractions qui servent d'exposants à X — a ne peuvent avoir de plus petit dénominateur commun que Az), le nombre n est ce que l'on appelle Vordre du cycle, le nombre v est sa classe, le point a, b est V origine du cycle.

Lorsque n^i, l'origine est un point singulier par lequel passent n branches de courbes réelles ou imaginaires^ ces

branches ont toutes avec l'axe des x un contact d'ordre -

en général fractionnaire, elles ont entre elles un contact de

même ordre au moins; exceptionnellement, le contact pourra

être d'ordre plus élevé.

Théorème. — Si Von coupe un cycle par une droite infiniment voisine de Vorigine, et non parallèle à la tangente^ elle le rencontre en un nombre de points infiniment voisins de. V origine y égal à son ordre. Si la droite

en question était parallèle à la tangente^ le nombre de points d'intersection infiniment voisins de l'origine serait égal à V ordre augmenté de la classe.

Gela résulte de la considération de l'équation (3); si les axes sont quelconques, v = o et la droite j/ = h -{- t coupe la courbe en n points infiniment voisins de <:/, b\ si l'axe des x est tangent au cycle, v > o, et la parallèle y = ^ -f- £ à la tangente coupe en /i -f- v points infiniment voisins de a, h.