III- — Théorèmes de Graves, Mac CuUagh et Chasles

Considérons deux coniques homofocales G et QI \par un point M de G' on mène deux tangentes MN et MP à G. Le D^ Graves a prouvé cjue^ si la conique G était une ellipse ainsi que G', V expression

MN + MP-arcNP

était constante ; Mac Cullagh et M. Chasles ont démontré que, si G' était une hyperbole coupant G e/i R, on avait

MN — MP = arcKN — arcKP.

En effet, appelons a et [3 les angles que les droites MN et MP font avec la tangente en M à la conique G'; appelons d<7 un

déplacement donné au point M sur la conique G' et ds^ clt les déplacements correspondant des points N et P; nous aurons, en vertu d'un théorème connu,

û?.MN = ds -h d<j cos y., d.MP = —dt -i-dfscos^.

Si la conique C est une ellipse, cosa = — coS|3 et, en ajou-

^(MN -+- MP) = ds — dt = d{s—t);

MN + MP = s — t -h const. = arcNP -t- const.,

d'où

ce qui démontre le théorème de Graves.

Si la courbe G' est une hyperbole.

iir

cosa

on a

cos[^ d.{MN — MP) = ds

si l'on compte les arcs à partir du point ¥^, ds el dt sont de signes contraires, et l'on voit que ds et dt sont les accroissements subis à gauche et à droite de K par l'arc NP ; s -\- t sera alors la différence KN et KP ; cette différence, comme on voit, est, à une constante près, égale à MN — MP et cette constante est nulle en K, ce qui démontre le théorème de Mac GuUagh.

Au fond le théorème de Mac Gullagh, comme celui de Fagnano, apprend à trouver des arcs d'ellipse à différence rectifiable.

Les théorèmes précédents s'appliquent évidemment aux coniques sphériques.

Soient G une ellipse fixe, S un cercle tangent en M; soient NK et N'R des tangentes communes au cercle et à l'ellipse, N et N' les points de contact sur U ellipse, on aura

NK — N'K = arcMN — arcMN'. ' (Ghasles.)

Ge théorème se démontre comme les précédents, en déplaçant infiniment peu le cercle.

FONCTIO.NS ELLIPTIQUES. 827