IV. — Théorème de Landen
L'ellipse peut être représentée par les équations
X = a en II, y = b sn u,
l'hyperbole par les suivantes
,, sn u ak dn u
X = ak , y = — - ;
en u k cnu
les axes sont alors a et -rr-
Sir
on pose C5 = am u, on a
sinc3 ak v^i — .t^sin-o X = ak' ^ y
cos<p "^ k' coso '
on en conclut, pour l'expression de l'arc s d'hyperbole et en
supposant a = i ,
k"^ df-
ds'^ =
cos* cp ( I — A:2 sin^ cp )
ou
o /i — k^ sin^cp Or on a
diango /i — A-2sin2cp
' Lcos^cp y/i — X:2sin2ç /i — A'^sin^çp y^i — A^ sin^cp J ^
en intégrant alors de o à ^, il vient
tangcp y/i — A^sin^cp = A'^ — A'2F(cp) + E(cp) ;
donc l'arc d'hyperbole peut s'exprimer au moyen des fonctions E et F. Nous allons prouver que la fonction F s'exprime au moyen de E(cp) et d'un autre arc d'ellipse; il en résultera que :
Théorème. — Tout arc d'hyperbole peut s'exprimer au moyen de deux arcs d'ellipses différentes.
La transformation de Landen donne lieu (p. i ^^) aux formules suivantes :
rfcpi
do
^i — /:f sin2cpi '^- /i — A-2sin2cp
(i) \ sin2çj = ^ (i -t-/csin2cp — coscp /i — Ar^sin^cp
IH- A'i
Multiplions membre à membre les deux premières formules : nous aurons, en intégrant de o à cp,
T,., . \-\- k 1-4- A- , i-t-A. ^ J(A„ cp,)= -^ J(A, cp)-!- —^ F{k, o) — sincp.
Or J(cp)=:F((p) — E(cp); donc
^[F(Ai, qO-E(A„oO]
- ^ [f(/^. ?)- E(A, cp)+ 1^ F(A, ?)- -^' sincp]. Mais, en verlu de la première formule (i), F(A„cp,)=llt^F(A, cp); la formule précédente devient alors
F(A, cp)= 1 [E(A, cp)-(i-f- /OE(Ai, cpO+ Asincp].
Celle formule de Landen montre que F est exprimable linéairement au moyen de deux fonctions E, ce qui démontre le théorème que nous avons énoncé au sujet de l'arc hyperbolique (Philosophical Transactions, 177^; Mathematical Memoirs, by John J^anden, 1780).
