V. — Courbes de M. J.-A. Serret
M. Serret s'est proposé de rechercher toutes les courbes algébriques dont l'arc est exprimable au moyen des fonctions
elliptiques [Journal de Liouvilley t. X, i*'^ série; voir aussi son Traité de Calcul différentiel et intégral). Voici seulement les résultats auxquels il est parvenu. Soit n une quantité plus grande que un, posons
\Ji{n — \)t R = sj—i^f^ — 'int-^x^.
On en tire, en supposant le radical réel, c'est-à-dire t compris entre les racines du trinôme t~ — 2^/1 + 1,
on fait ensuite
on en conclut
X ■\- y y/ — I ou, en prenant les modules,
itK
x^-^yi 4^2 R2
Or on trouve œ- -\- y- = t, au moyen de la relation (i); on a donc, en appelant s l'arc de courbe,
ou bien
/-TT TT ds
sjri'^ — x
~idt
^ int — \)
ou enfin
Les courbes dont ^ et jk seront fournis en fonction de t en égalant les termes réels et les coefficients de y — i dans (i)
33o CHAPITBE X.
seront donc telles : i^ que x et y seront fonctions algébriques de ^; a" que leur arc sera une fonction elliptique de t. Si l'on fait, par exemple, n = 3, on a
et, par suite, en observant que R = \J — t- '\-iSt — i ,
L'élimination de t entre ces équations donne
c'est l'équation d'une lemniscate de Bernoulli.
Observons encore que les courbes qui ont pour équations en coordonnées polaires
/• — acosmô ou /'=asinmô,
a désignant une constante; que le limaçon de Pascal ou conchoïde du cercle qui a pour équation
r = a -f- R cosO,
a et R désignant des constantes, ont leurs arcs exprimables par les fonctions elliptiques.
Mentionnons encore les épicycloïdes allongées ou raccourcies, dont les équations sont de la forme
a? = a sinmw -h h sin/iï«, y ^=^ a cos mu -r- b cos nu,
cij b, m, n désignant des constantes et u un angle variable; on a
ch^ =:[a^-+ ^2 | .;, ^^ cos ( /n — n ) u]du^,
et, par suite
, „ ni — 71 sin2 u\
ces courbes, comme Ton sait, sont algébriques toutes les fois que m et n sont commensurables.
Les courbes ayant pour équations
sinmO cosmO
ont également leurs arcs exprimables par les fonctions elliptiques.
