VI. — Démonstration d'un théorème de Poncelet
Etant données deux coniques, en les rapportant à un triangle autopolaire commun, on pourra mettre leurs équations sous les formes
ax'^-\-hy'^ — z^ = o\ on satisfait à la première de ces équations en prenant
cncp sncp I
et à la seconde en prenant
cn<|^ sn(j;dn6 cn6 pourvu que l'on fasse
ft I cnO I
cn6 = -r-^, -— ^ - — dnO
ce qui est possible en choisissant convenablement le module k des fonctions elliptiques.
Soit Mo un point de la première conique; par ce point
menons une tangente coupant la seconde en Nq et N'^, l'équa-
tion de cette tangente sera
:r en çp + jK sn cp — z = o,
et les coordonnées des points Nq et N^ ou, mieux, les valeurs <le ^ en ces points s'obtiendront en éliminant ^, y, z entre cette équation et (2), ce qui donnera
coscp cos(|^ + sincp sin<|; dn6 = cn6.
La comparaison de cette formule avec celle de Lagrange (p. 207) donne •
(cp-^)
Supposons alors que Von mène par le point Nq une tangente à la première conique rencontrant la seconde en^t et touchant la première en M, ; que par N< on mène une tangente à la première conique coupant la deuxième en N2 et touchant la première en Ma^ etc., le lieu des points de rencontre de MqNo et M^N^ sera une conique.
Ce théorème a été établi péniblement, pour la première fois, par Poncelet. Pour le démontrer, nous observerons que, si l'on appelle cpo la valeur cp en Mo, la valeur de ^ en Ni sera 6 H- cpo, la valeur de cp en Mi sera alors <po-l- ^^^ ceW^e, de ^ en Ni sera cpo4- 38, . . . , la valeur de cp en M;^ sera cpo + 2/18; le lieu cherché s'obtiendra alors en éliminant cpo entre les équations des tangentes en Mo et M^, ou
X en cpo 4- JK sncpo —
^en(cpoH-2^6)H-jKsn(cpo-l-2Ai6) — ;; =0; en combinant ces équations, on a
^[en(cpo+ 2Ai6)— cncpo]+jK[sn(cpoH- 2^6)^ancpo] = 0 OU bien
— a7sn/i6 dn/zÔ sncpo dncpo + jK sn/iô en cpo dncpo = o;
on en tire
snço X I r ,
en posant m = -^ — ^> on en conclut, en portant cette valeur dans (3),
a?^ H- my- — z s/ m y- -h x'^ = o ou
x^ -^ my"^ — ^2 = o.
Le lieu est donc une conique qui a le même triangle autopolaire que les coniques données. On voit que, si m = -^ ^ = i
ou que si /i 9 est égal à 2/?K, le lieu coïncidera avec la seconde conique,.ce qui constitue une nouvelle démonstration du théorème de Poncelet, démontré par Jacobi (p. 21 1).
Le théorème de Poncelet peut être transformé par polaires réciproques ; il fournit alors un théorème corrélatif que nous pouvons nous dispenser d'énoncer.
VIL — Roulette de Delaunay.
La roulette de Delaunay est engendrée par le foyer d'une conique qui roule sans glisser sur une droite.
Supposons que la conique soit une ellipse, et soit
Téquation de cette conique rapportée à ses axes; soit
la demi-distance focale ; sur la tangente en x', y' prenons une longueur égale à l'arc s' de la courbe comptée depuis le sommet(<2, o) jusqu'au point (jc',jk'). Soienty la distance du foyer à cette tangente et x la distance du pied de la perpendiculaire jy à l'extrémité de la distance s' comptée à partir du point {x',y), les quantités Xj y seront les coordonnées d'un point
de la roulette par rapport à une droite fixe sur laquelle h conique peut être censée rouler, et l'on aura
/a2 — ex'
y rt^H- ex'
çyy è-2
L'élimination de x' ^ y' entre ces équations et celle de l'ellipse fera connaître la roulette. Pour faire cette élimination, nous ferons x'= a cos'j, jk'= b sincs et nous aurons
C COSCD
// C y sin 9 v/a2 — c2 sin2çp â?cp ^ — ^
Cette courbe dépend, comme on devait s'y attendre, des fonctions elliptiques, et, si l'on veut voir apparaître explicitement ces fonctions, il suffît de faire o = âmt. L'élimination de cp donne
dx =
lorsque l'on fait — z= p et a = 00, cette formule devient
dx
p dy
on en déduit, en n'ajoutant pas de constante,
-fiog[(r-.v/;^);]
ou
~ ] = eP i
on en conclut
Ainsi, le lie a des positions des foyers d^ une parabole qui roule sans glisser sur une droite est une chaînette,
La roulette de Delaiinay contient donc la chaînette comme cas particulier.
On rencontre la roulette de Delaunay dans diverses circonstances, par exemple quand on cherche une surface de révolution ayant ses deux rayons de courbure R et R' liés par la
relation
a désignant une constante. En effet, si l'on cherche le méridien de cette surface, on voit que ce méridien est tel que, la normale étant désignée par N, on a
R désignant le rayon de courbure de ce méridien. Il est facile de voir que ce méridien est une roulette de Delaunay : en effet, son équation différentielle est
ou bien
y' cl y' dy dy
En multipliant par j/, on a
yy' dy' dy y dy
le premier membre est la différentielle de — ~^ ^ quand on
<:hoisit le signe — , ce que nous ferons, et nous aurons, en appelant b- une constante.
(i-Hy2)5
on en conclut
ce qui équivaut à l'équation (2) de la roulette de Delaunay.
