IX. — Surface de l'ellipsoïde
La surface de l'ellipsoïde à trois axes inégaux
s'obtient au moyen des fonctions elliptiques; nous satisfaisons à l'équation précédente en posant
a- = acostj; sin6, ^ = 6 sin^^ sin6, ^ = ccos6.
L'élément de surface est
ou bien, tous calculs faits,
sinO v/62 c2 cos2 ^ sin^ 0 -i- a2 c^ sin2 ij; sin2 6 + «2 6^ cos^ 6 d^ d^ ;
l'aire de l'ellipsoïde sera donc
fN
i 1 \ — H abc sin ^ d^ a<li.
Une première intégration peut être effectuée par rapport à 0 de o à -; à cet effet, on fait — cosQ = u, et l'on a
ff\/W^^ ^^^^^«*« ''« ^^'
en posant
/ I COS^^J; sin2t];\ /cos^tj; sin2(|;\ ^'^ ~ ^' " U ~ ~^' b^J • \~^^ "^ ~b^) *
On peut toujours supposer G"^ positif, c'est-à-dire
en effet, faisant ^ <^ a, le second membre de cette égalité est
inférieur à ^; et, en supposant c'^ a et b, cette égalité est
toujours satisfaite. En nous plaçant dans cette hypothèse, notre intégrale devient
( on facilite le calcul en observant que 1 {/ 7^ — u- du est
l'aire d'un demi-cercle de rayon -^^ ) ; en remplaçant G par sa valeur, il vient
T.abc
