I COS^J

et,

en posant

l'aire en question devient

T^ahc J —

. /« 4/n — /Tf «in

On peut supposer q '^o, p'^o] alors, en faisant - ^ A-, on a

X. — Sur les courbes du premier genre, et en particulier sur les courbes du troisième degré.

Les courbes du premier genre jouissent de cette propriété que leurs coordonnées peuvent s'exprimer rationnellement au moyen d'une variable ^ et du radical y/a -\-bt-{- et- H- dt^ -\-et\ qu'on peut lui-même ramener à la forme y(i — l-){\ — A'-^-), de sorte que, si l'on fait t^= snii^ on voit que les coordonnées d'une courbe de genre un pourront également s'exprimer en fonction rationnelle de snu, en;/, dnii.

Toutes les courbes de genre ^^/^ peuvent être ramenées, au moyen de transformations quadratiques, à des courbes du troisième degré ; celles-ci, à leur tour, au moyen d'une transformation homographique (p. 62), se ramènent à un type simple représenté par l'équation

(I) jK2 = (^-a)(^-p)(^-Y),

OÙ a, p, Y sont des constantes. Nous allons essayer de représenter les coordonnées de cette courbe au moyen des fonctions elliptiques, x ely seront (p. 286) de la forme

-hA'Z'{t — a)-hB'Z'{t — b)...

M, A, B, . . . , A', B', . . . , a, ... désignant des constantes et

FONCTIONS ELLIPTIQUES. SSq

7Jt) la fonction „ ; a. b, ... sont alors les infinis de x

OU r. Or j-, en vertu de (i), a les mêmes infinis que x\ ?À x a un infini simple, y a un infini d'ordre |, ce qui est inadmissible dans le mode de représentation adopté; x doit donc avoir au moins un infini double et j' un infini triple : il faudra donc poser

^ = M H- kZ{t — a)-v- \'Z'{t — a),

j^ = ]\ + ^Z{t — a)^B'Z'{t — a)-^WZ"{t — a).

Rien n'empêche de supposer a=2K'y/ — i : alors on a

7j(t — (t)=^ ttW; il faut aussi observer que la somme des

résidus A et B doit être nulle (p. 286) : donc A = o, B = o, cl l'on peut écrire, au lieu des formules précédentes,

■'^ ^ dt e(o de- 0(0

Mais -— — est, à une constante près, la dérivée de l'intéerrale

de seconde espèce; on peut donc écrire

X = a -\- b sn-t,

y = a' -h b' sn2 1 -h c' sut en t dn t,

a, by a', b', c' désignant des constantes,' qui, bien entendu, n'ont plus aucun rapport avec celles que nous avons désignées ainsi tout à l'heure. Appelons t^, t^^ t^ les valeurs de t pour lesquelles on a ^ = a, p, y ; on trouvera

CL = a-^ b sn^^j,

P = a -+- ^» sn2 ^2 r Y = a -I- 6 sn2 ^3 et

72 = 63(sn2i — sn2^i)(sn2^ — sn2^2)(sn2^ — sn2^3).

Or, y étant nul pour ^ = d= ^, , zi= /o, it: ^3, on a

o = a'-h b' sn^tx-\- c'sn^icn^i dn ifi, o = a'-i- 6'sn2^|— c'sn ^jcn ^idn^i ;

34o CHAPITRE X.

donc

«'+ ^'sn2^i = o, c'sn^icn^idn^i =0,

a'-T- è'sn^^a = o, c'sn ^2 cn<2 dn<2 = Oj

a'-+- b'sn^t^^: o, c' sntzcnt^ânt^^ o;

c' ne pouvant pas être nul, puisque y doit avoir un infini triple (et d'ailleurs, si c était nul, ^ et jk seraient fonctions rationnelles de sn^^), il faut que, tt, to et ^3 étant censés différents, on ait par exemple sn ^i = o, en ^2 = o et dn ^3=0. Alors «'= G et ^'= o; on a donc seulement

x = a-hbsn^t, y = c' snt cnt dnt,

et par suite on doit avoir, en vertu de (i),

c'2 snn(i — sn2 0(i — A-2snU)

= (a-+ b sn^t — a)(a + 6 sn2^— p)(a+ ^ sn^^ — Yj;

en identifiant, on a

donc une des quantités a, p, y est égale à a. Soit ol=^ a : l'équation précédente devient

c'2(i— snU)(j — A-2sn2^)= 6(a — |3 + 6 snU)(a — y -\-bsn^t)

et, en identifiant,

c'2(i + A-2)^è2(2a-!3 — y), c'^k^ = b\ En ajoutant, on a

o = (a— ?)(a — Y)-4-6[(a— !3) + (a-Y)]-l-62, d'où

b = ^ — a ou Y — ^*

Si l'on prend b= ^ — a, on trouve

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 34l

on a donc enfin, pour représenter la courbe (i), les formules

( ^ = a-l-(|3 — a)sn2^ = [3snU-i- acn2f,

. } y ^C^ — et) ^^( — xsn tentant,