XI. — Quelques propriétés des courbes du troisième degré

Nous ferons usage du théorème d'Abel, démontré page i54. En vertu de ce théorème, si l'on coupe une courbe du troisième degré

par une courbe variable et si l'on appelle (^i,y<), ...,

{xi,yi), ... les coordonnées des points d'intersection, on

doit avoir

dxi

lu

i^i^Xi)

/2(^, y) désignant, pour abréger, la dérivée j-' Nous ferons

une première application de cette formule en supposant que la courbe variable se réduise à une ligne droite ; alors on devra avoir

dxi dx^ dx-i

Nous allons appliquer cette formule à la courbe du troisième degré considérée au paragraphe précédent, représentée par les équations

OU

^ = (3 sn'2«-}- a cnU,

/ = ( (3 — a) /y — a sn ^ en ^ dn ^,

De ces formules on tire

dx = 2 ( |3 — oi)snt en t dn t dt et, par suite,

dx idt

or

OU

donc ici -f^ = ay et — = , ,„ ■: on doit par suite avoir, en

dy -^ 'ly d£y ^

appelant ^i,j/i ; ^2)JK2 5 «^a^jKs les coordonnées de trois points en ligne droite sur la courbe (3),

dxx dx^ dx^

ou, en appelant ^<, t^^ l^ les t de ces points,

dt^ -\- dt-i + «^^3 = o ou enfin

ti-^t-i-^ t^=^ const.

Ainsi :

Théorème. — Les t de trois points en ligne droite sur une courbe du troisième ordre ont une somme constante.

Pour déterminer cette constante, nous supposerons les trois points sur l'axe des x\ alors jr = o, et sn^cn^dn/ = o; les valeurs de t correspondantes annulent sn^, cn^, dn^ et l'on a

on trouve donc, pour la valeur de la constante,

m et m' désignant des entiers quelconques.

Réciproquement, si la relation (4) a lieu, les points t^, 1-2, ^3 seront en ligne droite; car, en appelant t'.^ le ^du point en ligne droite avec ^, et /o, on aura

ti-h 1-2-^ t'i = 2mK -4-(2m'-r- i)K'v/ — i ;

donc ^3 = ^3.

Les points d'inflexion d^une courbe du troisième degré sont trois à trois en ligne droite.

En effet, un point d'inflexion s'obtiendra en supposant ^, r= ^o = ^3 dans (4), ce qui donne pour son t

^ et jK seront distincts en prenant

KV-i 3KV-1 5K'v/-.

KV— 1 2K 3KV— I ?K

5KV-I 2K

KV— I 4K 3KV— 1 4K

5KV-I 4K 3 ' 3 ^

ce sont les t des neuf points d'inflexion.

La somme de trois quelconques d'entre eux est de la forme 2/n Kh-(2/?i'4- i)K.'y^ — 1 \ donc ils sont trois à trois en ligne droite. c. q. f. d.

Théorème de Maclaurin. — Si par un point M d'une courbe du troisième degré on mène des tangentes à la courbe, les points de contact autres que le point M sont tels que, si on les joint deux à deux, les droites ainsi menées concourent en un même point situé sur la courbe.

Supposons que, par le point ^, on mène des tangentes :

poi

ur les poin

poi

ts de

donc avoir

tt= h

contact, t-i et ^3 seront égaux; on devra

'2mKH-(2m'-hi)KV— i — '1

les quatre points de contact ont donc pour t

la somme de deux de ces t est de la forme

OU

de sorte qu'à la première combinaison correspondent le point ^1 4- K et à la seconde le point t^ -\- K'^/ — i , tous deux sur la courbe.

SoientM^^ M2, M3 les points d^ intersection d'une courbe du troisième degré avec une droite; les tangentes en Mi, M2, M3 rencontrent la courbe en trois points en ligne droite.

En effet, soient ^,, /o, ^3 les paramètres qui déterminent les coordonnées des points M,, M2, M3, les tangentes en ^,, ^2j ^3 couperont la courbe en des points dont les paramètres seront 8,, 82, 83, et l'on aura

mais, comme

^1 -T- ^2 + ^3 ^ 2 m K H- ( 2 m' -h I ) K' y/ — i , il viendra

2 m K + ( 2 wi' 4- I ) K' / — I ,

ce qui montre biea que les poinls déterminés par les paramètres 8i, 80, O3 sont en ligne droite. En particulier :

Les asymptotes cVune courbe du troisième degré rencontrent la courbe en trois points situés en ligne droite.

Ce théorème peut être généralisé et étendu à des courbes d'ordre supérieur : ainsi, si Ton coupe une courbe du quatrième degré par une droite, les tangentes aux points d'intersection rencontrent la courbe en huit points situés sur une conique, etc.

XII. — Les points Steiner dans les courbes du troisième ordre.

On appelle points Steiner dUine courbe ceux où une conique peut avoir avec elle un contact du cinquième ordre. Voici comment on peut mettre ces points en évidence sur les courbes du troisième ordre.

Si l'on coupe la courbe représentée par les équations (2) du paragraphe précédent par une conique, les six points d'intersection s'exprimeront au moyen, de six paramètres t^^ ^2, . . . , ^c qui seront les valeurs qu'il faut attribuer à t dans les formules (2) en question, pour que x et y représentent les coordonnées d'un point d'intersection; ces six paramètres satisfont à la relation

dti -f- dto d'où l'on déduira

dtQ = o ou y dti = o;

ti = const.

Pour déterminer la constante, on peut supposer la conique réduite à deux droites, et alors, d'après ce que l'on a vu tout à l'heure, si t^, t-j^ t^ sont les paramètres des intersections de la courbe avec l'une des droites, on aura

t^-\- ^2+ ?3 = 2mK-i-(2m'4-i)K'v/— ^1 ^4 H- ^5 -r- ^6 = 2 mi K -f- ( 2 m\ -h I ) K' y/— i ,

■et, par suite, en appelant m et m' deux entiers quelconques,

Réciproquement, si cette relation a lieu, les six points déterminés par les paramètres t^, t,-, . - - ^ (q seront sur une conique.

En un point Steiner, six points confondus sont sur une conique; un point Steiner sera déterminé par l'équation

( I ) (jt = i7?iK-hi ni' K' /— 1 ;

on tire de là les valeurs suivantes de t fournissant des valeurs distinctes de ^ etj^ •

K 2K 3K 4K 5K kV^^

^ ^V— ' ^ 5KV— 1

Ces valeurs sont au nombre de 36; il y a donc sur toute courbe du troisième degré 36 points Steiner, mais 9 de ces points coïncident avec les points d'inflexion où la conique osculatrice se réduit à deux droites confondues; il y a donc seulement 36 — 9 = 27 points Steiner proprement dits. Il est facile de voir que :

Deux points Steiner sont toujours en ligne droite avec un autre point Steiner, ou avec un point cl' inflexion.

En effet, étant données deux des quantités (2), on en trouve toujours une troisième dont la somme fasse

ijnK + ( 2 ni' H- I ) K' y/ — 1 ,

Les points Steiner sont les points de contact des tangentes menées à la courbe par les points d'inflexion.

En effet, soient Q le paramètre d'un point d'inflexion,

t celui d'un point de contact d'une tangente menée par le point 9, on a

2 ^ -f- 6 = 2 /n K -4- ( •?. m' -T- I ) K' / — i , 3 0 — 2 /?? 1 K -h ( 2 jn\ -r- 1 ) K' y/ — i ;

l'élimination de 9 entre ces équations montre que l'on a 6 ^ = 2 /«a K H- 2 /?i', K' s/ — I ,

/?2o et /??!, désignant deux entiers comme m, m', /??< et m',. La formule (i), à laquelle satisfont les paramètres des points Steiner, montre bien que les points qui nous occupent sont les points Steiner, car ils sont au nombre de 27.

(Pour plus de détails sur les points d'inflexion et les points Steiner dans les courbes du troisième ordre, consulter la Thèse de M. Lemonnier.)