XIII. — Sur les biquadratiques gauches

Deux surfaces du second degré, ou quadriques, se coupent en général suivant une courbe gauche du quatrième degré, que l'on a appelée hiquadratique gauche; lorsque ces surfaces ont une génératrice commune, la hiquadratique se décompose en une droite et en une courbe appelée cubique gauche.

Par une transformation homographique, on peut toujours ramener les équations de deux quadriques, et par suite d'une hiquadratique gauche, à la forme

il suffît pour cela, après avoir pris pour tétraèdre de référence le tétraèdre autopolaire commun, de transformer ce tétraèdre en un autre ayant une de ses faces à l'infini; on peut même, si l'on veut, supposer les trois autres faces rec-

348 ^''^^''^■'"^CIIAPITRE X.

tangulaires; les deux quadriqiies se trouvent alors rapportées à leur centre et, en éliminant tour à tour z ely^ on ramène leurs équations à la forme (i).

On satisfait aux équations (i) en posant

a sn^,

9jcnf.,

Y dn^.

La courbe (i) donne donc une représentation géométrique toute naturelle des fonctions elliptiques. Coupons la courbe (i) par un plan variable

Ax -f- Bj + G^ -+- D = o,

d'après un théorème d'Abel (démontré p. 1 58) ; on devra avoir dxi dxi dx^ dxi^

dxci

(Xi^yi, Zi), .. ., (^4,j^/,, Zf,) désignant les coordonnées des intersections du plan et de la courbe et cp, ^ désignant, pour abréger, les premiers membres des équations (i). En effectuant les calculs, on trouve

dxi

dx^

dxr,

dxK

yiZi J-2-2 ^3-3 .r4^4

ou, en remplaçant ^, y, z par leurs valeurs tirées de (2), dti -f- dt2 -+- dti -+- dti, = o,

c'est-à-dire

const.

en appelant t^, t^^ ^3, ^4 les valeurs de t aux points où un plan coupe la biquadratique. On détermine la constante en faisant coïncider le plan sécant avec le plan des zy\ alors ^<, ^2, ^3, ^4 sont racines de sn/^o et l'on a, en négligeant des multiples de 4 K. et de 4K.'y/ — i,

On peut alors énoncer le théorème suivant :

Lorsque quatre points d^une hiquadratique sont dans un même pian, la somme de leurs t est ^ o

Réciproquement, il est clair que :

Si la somme des t de quatre points dhine hiquadratique gauche représentée par les équations (2) est égale à zéro, ces points sont dans un même plan.

Si l'on suppose ^, = ^2^=^3=^/0 le plan rencontrera la

hiquadratique en quatre points confondus, il sera suroscu-

lateur ou stationnaire ; le t du point d'osculation sera donné

par les formules

ce qui fournit seize points avec des coordonnées différentes correspondant aux valeurs suivantes de t

o, K, 2K, 3K, KV^^, K + KV^ <2K + KV^ 3K-+-K'v/=^,

On démontrera facilement les théorèmes suivants :

Les seize points stationnaires sont quatre à quatre dans un même plan.

Car, trois d'entre eux étant donnés, il s'en trouve un autre tel que la somme de leurs t soit ^ o.

Deux points dont la somme des t est constante sont tels que la droite qui les joint engendre une surface du second ordre passant par la hiquadratique : on peut ohtenir de tels points en coupant lahiquadratique par un plan passant par deux points fixes de cette hiquadratique.

Le lieu des points d'oà l'on peut mener deux tangentes à la hiquadratique est une courhe plane unicursale du quatrième ordre^ ligne douhle de la surface développahle lieu des tangentes à la hiquadratique.

35o CHAPITRE X.

Toutes ces propriétés et beaucoup d'autres sont des conséquences de la formule

Pour terminer cet aperçu, nous démontrerons un théorème récemment découvert par M. Caylej, et qui découle des considérations précédentes. Coupons la courbe

x = snt, y = cnt, z = dut par le plan

ace -+- by -f- c^ -+- 1 = o,

a^ b, c désignant des constantes, l'équation

a sn t -]- b en t -^ cdn^-f-i = o

en/ qui en résulte détermine quatre valeurs de t dont la somme est ^ o. Si, dans cette équation, on exprime tout en fonction de sn^, de cn^ ou de dn^, on obtient des équations du quatrième degré qui sont les suivantes, où l'on n'a écrit que les premiers et les derniers termes, seuls utiles,

(iH-è + c)( — i -{- b ^ c)(i — b ^ c)(i-h b— c)

snU...-^ — =: — =0,

\ X («/— J — b -h ck)(a\/— i-i- b — c k))

cn''t...-{-

( a \/ — i-h b -+- ck). . .

, . (a^ bk'\/—[-^k). ..

dn'*t...-\ =0.

(a/ — i-\- b -h ck). . .

On en conclut, en appelant t^,t2, t-^, t^ les t des quatre points de la courbe situés dans le plan,

k^ K'2 sn ti sn t^ sn t^ sn ^4

— A-2 cn^i cnif2 ^^h en ^4 H- dn^i dn;2 dn^3 dn^4 = A'^;

telle est la relation qui lie les fonctions elliptiques sn, en, dn de quatre quantités satisfaisant à la relation

A cette relation correspond la suivante

qui lie les coordonnées de quatre points de la biquadratique (i) situés dans un même plan.