XIV. — Surfaces monoïdes de M. Cayley

M. Cayley appelle surfaces monoïdes [Comptes rendus, t. LIV et LVÏII) les surfaces représentées par une équation de la forme

0 désignant une fonction rationnelle de x et dey. Si l'on suppose cette surface d'ordre /?^, on pourra poser

(p désignant un polynôme de degré m et ^]; un polynôme de degré m — i .

La surface monoïde (i) a un point multiple d'ordre m. — i à l'infini.

Toute courbe gauche est V intersection d^une monoïde et d' un cylindre.

En effet, soient P =- o, Q = o les équations d'une courbe gauche, entre ces deux équations on peut éliminer ^, ce qui donne une équation de la forme

Cette équation (2) exprime que P = o, Q == o ont une solution commune z, laquelle, comme on sait, s'exprime rationnellement en ^ et JK5 on peut donc poser (i)

La courbe gauche considérée est donc bien Tinlersection du cylindre (2) et du monoïde (i).

Un plan coupe la courbe (i), (2) en inn points, si/=o est de degré n et si la monoïde (i) est de degré m. Toutefois, la courbe (i), (2) ne sera que du degré mn — a, si a désigne le nombre des solutions communes à

si ces équations ont effectivement a solutions communes, (i), (2) représenteront a droites parallèles à l'axe des y et une courbe d'ordre mn — a.