IX. — Cycles des courbes algébriques

D'après la théorie des points critiques de M. Puiseux, on sait que, dans le voisinage d'un point critique, les diverses valeurs de la fonction y, définie par l'équation irréductible

(i) fi^,7) = o,

se distribuent en groupes de valeurs se permutant les unes dans les autres. Les valeurs d'un même groupe sont données par une équation de la forme

a, b désignant les coordonnées du point critique. Cette équation représente un cycle qui fait partie de la courbe (i); nous dirons que ce cycle est un cycle de la fonction j^ ou de la courbe y= o.

Soit ^{x,y) une fonction rationnelle de x et j^, le cycle (2) peut être représenté par les équations

x—a = tf^, y — b = kt'^-\-...,

si les axes de coordonnées sont quelconques, et alors on a, dans le voisinage du point <7, b,

çp(a7, jk)= cp(a-t- t'\ b-h At''-\- ...);

Zi pourra se développer suivant les puissances de ^et, par suite,

sera d'un ordre infinitésimal entier par rapport à t : c'est ce que nous appellerons Vordre de cp (qui peut être positif, nul ou négatif) par rapport au cycle considéré ; si la fonction cp contenait les dérivées de j>^, son ordre se définirait encore de la même façon : ce serait son ordre infinitésimal par rapport

ktovi'à{x — ay.

On peut donner de l'ordre de cp une autre définition : soient, pour le cj'cle considéré, JK< ? JK2? • • • > JK« les valeurs de y correspondant à une même valeur de x, la fonction

4» = cp(a7, JKOcpCa-, 72) . • • ?(^, yn)

est monodrome autour du point a^ le point a est pour elle

un zéro dont l'ordre de multiplicité (ordre par rapport à

X — a) est égal à l'ordre de cp, par rapport à ^ ou à (^ — ay ; ainsi, pour avoir l'ordre de cp, il suffit d'évaluer le degré de multiplicité du zérq de la fonction symétrique $ ('). L'ordre de cp pourra donc être représenté par l'intégrale

(3) ^ r^'(z)dz

prise autour du point a.

Théorème. — La somme des ordres d'une fonction rationnelle ^{Xj y) relatifs à tous les cycles de la courbe algébrique f^Xyy) = 0 est nulle.

En effet, cela revient à dire que le nombre des zéros, moins le nombre des infinis de la fonction rationnelle

oùjKi, J^2? • • • 5 JK/7Î sont les valeurs de j^ pour une même valeur de x^ est nul.

Théorème. — Une transformation de coordonnées n'altère pas Vordre d'une fonction par rapport à un cycle.

(') En considérant un infini comme un zéro d'ordre négatif.

THÉORIE DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES. Sq

En effet, considérons le cycle

x—a=V', y —b — kt^^^^-^...

et la fonction

Effectuons la transformation de coordonnées

x' — a'= \(x — a) -H [x(jK — b),

les équations du cycle deviendront

x'~a'=^ It^-h IX. A t''--^^ -i- . . . , y — 6' = X' ^« + [x' A ^"+v -+- . . . ;

si donc on pose

les nouvelles équations du cycle seront

x'—a'=t'f^, y'—b'=Gt''^-\-...,

et l'on aura

t' est donc de même ordre que t\ or l'ordre de la fonction cp par rapport aux anciens axes est l'ordre infinitésimal de 'f (^'S A ^"+^4-. . .) par rapport à t et, par suite, par rapport à t' : c'est donc l'ordre de cp dans le nouveau système d'axes qui est quelconque; donc enfin une transformation de coordonnées n'altère pas l'ordre d'une fonction par rapport à un cycle.