XV. — Cubiques gauches

On a donné le nom de cubiques gauches aux courbes d'intersection de deux quadriques ayant une génératrice commune. Les équations d'une cubique gauche peuvent donc être ramenées à la forme

P^ -î-Qj =0,

P, Q, P', Q' désignant des polynômes entiers du premier degré en x^ y, z. Mais ces équations représentent avec la cubique l'axe des ^, à savoir ^ = o, y r= o.

Une transformation homographique ramènera ces équations à la forme

Gy — H^ =: o,

G^ — H^ =0, où l'on peut supposer ^ = i , ce qui donne

G et H désignant deux polynômes du premier degré. On tire

de là

^ tx

Gy — H^ = 0,

Si, dans Gy — H^, on remplace z par sa valeur, on est ramené aux équations

tx My — Na? = o,

où M et N sont de second degré, mais ne renferment plus z. Le monoïde est ici un paraboloïde hyperbolique; quant au cylindre, il est du troisième degré, mais il est facile de voir que sa base présente un point double x ^=Oy y = o; en effet,

si l'on pose

G = «a? -h by -i- cz -i- d,

l'équation (i) devient

\{ax -\- by -\- d)y H- cx\y + [(a'^ + U y + d!)y H- c'x]x = o,

et il est clair que l'origine est un point double. La courbe (i) est donc unicursale et, si l'on pose