Si l'on a

l'intégrale de l'équation

[f{x)] 'dx + [f{r)] ^dy = o

FONCTIONS ELLIPTIQUES. SSg

sera

= [A -r- B{x H- jK -h a)-+- C(xy -hya -+- ax)-+- DxyaY,

a désignant une constante arbitraire

(Mac-Mahon, Quarterlf Journal; i883.)

10. Quelques auteurs (Weierstrass, Halphen, Hoiiel, . . . ) ont fonde la théorie des fonctions doublement périodiques sur la considération de la fonction

du

s/^ll^— gïU~ gz

et de son inverse

l'emploi des fonctions/? est peut-être plus simple que celui des fonctions sn, en, dn ; mais, comme la plupart des bons Mémoires sont écrits dans la notation de Jacobi, nous avons cru devoir la conserver avec M. Hermite.

(Voir Traité des Fonctions elliptiques, par G. -H. Halphen.)

>/I. — Préliminaires.

Dans ce Chapitre, nous allons faire une étude rapide des intégrales des fonctions algébriques d'un genre supérieur à un; ces intégrales sont ce que l'on appelle proprement des intégrales abéliennes.

On peut étudier les propriétés des intégrales abéliennes par les méthodes de Cauchy, ainsi que l'ont fait successivement MM. Clebsch et Gordan et, plus récemment, Briol. Toutefois, les méthodes imaginées par Riemann, élucidées et perfectionnées par MM. Neumann, Clebsch, Liiroth, nous paraissent plus simples et plus rapides (^).

Nous commencerons par exposer un mode de représentalion des fonctions imaginaires inventé par Riemann, et qui servira de base à nos recherches ultérieures.

[Riemann, sa Thèse, Gôttingue, i85i {Théorie der abelschen Functionen; — Journai'de Crelle-Borchardt, iSS^) — ou ses Œuvres complètes.]

4 II. — Surfaces de Riemann.

Considérons la fonction z'"^ : elle possède m valeurs en chaque point du plan, valeurs qui se permutent, comme l'on sait, autour de l'origine.

(') L'emploi des surfaces de Riemann n'est pas absolument nécessaire en Analyse, mais nous croyons devoir en faire usage pour faire connaître un langage employé surtout par les géomètres allemands.

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 36l

Par l'origine O faisons passer une ligne indéfinie dans un sens OL et limitée au point O, et fendons le plan sur lequel on représente les imaginaires suivant la ligne OL; traçons enfin une courbe fermée MNPM autour du point O.

Cela fait, partons du point M et faisons suivre à la variables

le contour MNPM, avec une valeur initiale Uq de ^'"; inscrivons, chemin faisant, en chaque point du contour les valeurs

correspondantes de y, nous arriverons au point de départM

avec la valeur iioe '" de z"^. Plaçons au-dessous du plan sur lequel on a représenté jusqu'ici les imaginaires un autre plan

Fis. Il

parallèle infiniment voisin, fôndons-le également suivant la projection de OL, et soudons le bord droit de la coupure OL du plan supérieur avec le bord gauche de la coupure OL du plan inférieur, puis continuons à faire cheminer le point ^, non plus sur le premier plan, mais sur le second le long de la projection de MNPM sur le second plan, en continuant à

inscrire, chemin faisant, les diverses valeurs de z"^] nous

arriverons de nouveau en M avec la valeur UQ<i '" ; plaçons au-dessous du second plan un troisième plan parallèle et infiniment voisin fendu suivant la projection de OL, en soudant le bord droit de la seconde coupure avec le bord gauche de la troisième; continuons à faire cheminer z sur le troisième plan, et ainsi de suite. Quand nous aurons parcouru la projection de MNPM sur le m'' "'''plan, nous reviendrons en M

avec la valeur Uq ; alors, soudant le bord droit de la /?i^*''"'^ coupure avec le bord gauche de la première, nous repasserons sur le premier plan.

L'ensemble des plans dont nous venons de faire usage constitue une surface de Riemann ; en chaque point d'une

pareille surface, la fonction 5''* n'a qu'une seule valeur, si l'on convient de ne jamais franchir OL en restant sur le même plan, mais de passer par les soudures comme sur un pont- Considérons encore la fonction

joignons les points a et h par une ligne droite ou courbe et fendons le plan sur lequel on représente la variable z suivant

cette ligne ah. Si l'on décrit une courbe fermée quelconque qui ne coupe pas ah^ le point z revient au point de départ avec la valeur initiale de la fonction u\ il n'en est plus de même quand le contour fermé décrit par le point z coupe une fois la ligne ah.

Plaçons au-dessous du plan sur lequel on représente la variable z un second plan parallèle infiniment voisin, fendons-le suivant la projection «^, soudons le bord droit (par rapport à l'observateur regardant dans le sens de la flèche) de la coupure supérieure de ah avec le bord gauche de la coupure inférieure et vice versa, puis faisons parcourir à z une courbe MNPM entourant le point a; si ^ est parti de M avec la valeur initiale Wo de u., il revient en M avec la valeur — i/o- Supposons que l'on ait inscrit en chaque point z du parcours de la variable la valeur correspondante de u ; continuons à faire

cheminer ^, mais sur le plan inférieur en suivant la projection de MNPM, on reviendra en M avec la valeur initiale Uq de u; et si, chemin faisant, on a inscrit en chaque point z la valeur de u correspondante, on voit que, sur la surface ainsi constituée par nos deux plans fendus et soudés, la fonction u n'aura jamais qu'une seule valeur bien déterminée, pourvu que l'on ne fasse jamais franchir au point z la coupure ab sans le faire passer d'un plan au plan voisin. La surface dont nous venons de faire usage est encore une surface de Riemann. Nous pourrions multiplier les exemples à l'infini, et nous montrerons, mais plus loin, que toute fonction algébrique peut être considérée comme n'ayant qu'une seule valeur en chaque point d'une surface convenablement formée de plans superposés, fendus et soudés.

y/ III. — Propriété des fonctions qui peuvent être représentées au moyen des surfaces de Riemann.

D'une manière générale, nous appellerons surface de Riemann une surface formée de plans superposés parallèles et infiniment voisins; ces plans pourront être fendus suivant certaines lignes dites de passage; aucune de ces lignes ne pourra être franchie par un mobile assujetti à demeurer sur la surface, sans que ce mobile passe d'un plan à un autre. A cet effet, on pourra supposer les bords des coupures convenablement soudés, comme il a été expliqué plus haut.

En chaque point d'une pareille surface, représenté par ses coordonnées x^ y ou par l'imaginaire x -{- y \^ — i = :j, on pourra inscrire une valeur arbitraire fonction de x Q\. y.

Toute fonction qui n'aura jamais qu'une dérivée relative à :; sera dite monogène ; toute fonction qui en chaque point d'une surface de Riemann n'aura jamais qu'une seule valeur sera dite monodrome sur cette surface.

Une fonction monodrome, monogène, finie et continue sur une portion de surface de Riemann, est dite synectique sur celle porlion de surface.

si IV. — Sur l'ordre adelphique des surfaces.

Une surface est dite monadelphe (') quand elle est partagée en deux morceaux distincts et capables d'être séparés l'un de l'autre au moyen d'une coupure allant d'un point quelconque de son contour à un autre. Toute surface fermée (comme une sphère ou un plan que nous supposons fermé à rinfîni) sera censée trouée quelque part et le trou constituera un contour. A ce point de vue, le plan sur lequel on représente les imaginaires est une surface monadelphe, parce qu'une ligne quelconque indéfinie dans les deux sens le partage en deux morceaux distincts et capables de se déplacer indépendamment l'un de l'autre.

Une surface est diadelphe, quand on peut la transformer en surface monadelphe au moyen d'une coupure allant d'un point à un autre de son contour, sans jamais rencontrer le contour entre ces deux points.

Une surface trladelphe est celle qui peut être transformée en surface diadelphe au moyen d'une coupure allant d'un point à un autre de son contour, sans jamais rencontrer le contour de l'aire dans l'intervalle, etc.

Exemples. — L'aire d'une couronne circulaire est dia-

Fig. i3.

delphe, parce que l'on peut la transformer en surface monadelphe au moyen d'une droite telle que ab allant de l'un des points a de son contour à un autre b. La ligne' a^, que l'on doit alors considérer comme une ouverture pratiquée dans la

(') Einfach zusammen hangencl, d'après Riemann

surface, lui sert alors en quelque sorte de double contour, et il est bien clair que la nouvelle surface ainsi obtenue est monadelphe, car une coupure quelconque allant d'un point de son contour à un autre la morcelle.

Si, dans une couronne circulaire, on pratique un trou circulaire, une coupure telle que ab la transformera en surface diadelphe et une seconde coupure cd en surface mona-

delphe, car toute nouvelle coupure faite en considérant ab et cû^ comme des ouvertures infiniment minces morcellera la surface, etc.

Nous appellerons section toute coupure allant d'un point du contour de l'aire à un autre point de ce contour, sans rencontrer ailleurs les contours de l'aire ; on considère, bien entendu , comme faisant partie des contours de Taire : i'^ les sections déjà pratiquées dans l'aire ; 2*^ la section même que l'on trace. On appelle rétrosection (^) une coupure qui, partant d'un point même de l'aire, revient à ce point sans avoir jamais rencontré un contour de l'aire.

Théorème T. — Si Von considère un ensemble S de surfaces monadelphes ou polyadelphes, et si Von pratique dans ces surfaces un nombre total [a de sections partageant ces surfaces en surfaces monadelphes en nombre v, le nombre \x — v ne dépend pas de la manière dont les sections ont été menées.

(') Huckerschnitt.

En efiet, faisons dans S un premier système de sections en nombre [k et un second système de sections, indépendant du premier, en nombre [a'. Supposons que le premier système fournisse v surfaces monadelplies et le second v'; soit A" le nombre des points où le premier et le second système de sections se croisent.

Si l'on commence par mener le premier système de seclions, le second système de sections rencontrera l'ancien contour de l'ensemble de nos surfaces en 2|ji' points (double <lu nombre de ces sections) et le nouveau contour formé par le premier système de sections en 2k points; à ces 2|jl'-|- 2k points correspondront [x'-HA" sections proprement dites. Si l'on avait commencé par mener le second système de sections, le premier système aurait introduit ji. + A* sections nouvelles.

Le nombre total des morceaux dont se composera l'ensemble de nos surfaces après l'introduction des deux systèmes de sections peut s'évaluer de deux manières : i*' il est égal au nombre des morceaux v monadelplies fourni par le premier système de sections, augmenté du nombre [x'-f-A* des sections introduites par le second système (*) : il est donc égal à V + [Ji'-r A; 2° il est aussi égal à v'-j- [jl -f- A, donc