V -f- tj.' -f- /: = v' -h [x -+- A ; on en conclut
Cette démonstration suppose les A points de rencontre des sections situés à l'intérieur de nos surfaces et non sur leur contour^ mais, s'il s'en trouvait un sur leur contour, il faudrait évidemment remplacer A par k — i , et nos conclusions subsisteraient entièrement.
Si l'on considère une aire monadelphe, pour cette aire ]x — V peut s'obtenir en faisant [Ji = i; alors v= 2, et l'on
Si l'on considère une surface diadelphe, on pourra faire
(') Chaque section partage une surface monadelphe en deux morceaux.
p. = I , et, comme v ^^ i , ijl — v sera égal à o ; alors [a — v = o ; pour une surface triadelphe, on aurait jjl — v = i , etc. ; donc, N étant l'ordre adelphique d'une surface, on a
C'est ce nombre [jl — v + 2 que nous prendrons pour la définition de l'ordre adelphique d'un système de surfaces.
Théorème II. — Soit N V ordre adelphique d^un système de surf aces ; si r on y pratique n sections, on les transformera en un système de surfaces d'ordre N — n.
En effet, soit y- le nombre de sections qu'il faudrait faire pour transformer nos surfaces en v morceaux monadelphes. On aura par définition
Si l'on pratique une section, le nouvel ordre Ni s'évaluera en observant qu'il faudra faire [x — i sections pour partager les surfaces en v morceaux monadelphes; donc
Ni = jjt. — I — V H- 2,
donc
Ni = N — I.
Si l'on pratique deux sections et si l'on appelle No le nouvel ordre de nos surfaces, on aura
N2 = Ni — i = N — 2;
et ainsi de suite, ce qui démontre le théorème énoncé.
Théorème III. — Une rétrosection ne modifie pas V ordre adelphique d'un système de suif aces.
En effet, soient N l'ordre d'un système de surfaces, N' ce que devient cet ordre après une rétrosection : d'un point de la rélrosection menons une coupure qui aboutisse au contour de l'aire, l'ensemble de la coupure et de la rétrosection forme une section, si bien que l'ordre N'' de notre ensemble de surfaces sera
mais on a aussi
donc N = N'. G. Q. F. D.
Théorème IV. — L'ordre adelphique N d'une surface est égal au nombre de sections n quHl faut pratiquer pour la rendre monadelphe, augmenté de un.
En effet, l'ordre d'une surface monadelphe élani + i, on a
N n = + I ou N = 7Z + I .
Théorème V. — U ordre adelphique dUine surface est égal au nombre de ses contours augmenté d\in nombre pair positif ou nul.
En effet, soient N l'ordre adelphique d'une surface, C le nombre de ses contours; toute section pratiquée dans la surface augmente ou diminue d'une unité le nombre de ses contours, suivant que ses extrémités aboutissent au même contour primitif ou à des contours différents; mais toute section diminue son ordre d'une unité.
Donc, au moyen de N-f-i sections, on peut rendre le nombre de ses contours égal à G — (N -h i)(2 A- -|- i), et son ordre égal à + i-, elle sera alors monadelphe et le nombre de ses contours sera égal à un ; donc
i = G-(N-^i)(2Â--i-i) ou
2AN-h2A--+-N = G;
G diffère donc de N d'un nombre pair. c. q. f. d.
vV. — Ordre adelphique des surfaces de Riemann.
Une surface de Riemann n'est pas nécessairement monadelphe, bien qu'elle puisse s'étendre à l'infini. En supposant qu'une pareille surface s'étende à l'infini, on la suppose
fermée (') et contenant seulement une ouverture infiniment petite; son ordre sera donc impair; donc :
Théorème I. — Toute surface de Rlemana est cVun ordre adelphique impair^ et elle devient monadelphe seulement au moyen d'un nombre de sections pair ip.
Théorème II. — Soit une surface de Riemann formée de m plans superposés; soient w le nombre de ses points de ramification^ /z, , /lo, . . . , n^ les nombres de nappes qu'ils réunissent ou, si l'on veut, les ordres de ces points, l'ordre de la surface sera
\ /i — (p — 2 /?i -f- 3 = N , et elle deviendr a monadelphe au moyen de
\ n — w — lin -\- 1 = ip sections.
En effet, prenons l'ouverture infiniment petite pour base d'un cylindre coupant toutes les nappes, nous introduirons ainsi m — i rétrosections. Coupons encore la surface par un autre cylindre à base fermée infiniment petite, nous introduisons encore m rétrosections sans altérer l'ordre N de la surface ou du système de surfaces dans lesquelles nous transformons la surface de Riemann considérée. Projetons la figure sur un plan parallèle aux feuillets de la surface de Riemann : la projection se composera de deux petites courbes fermées C, G' et les points de ramification se projetteront en p,, po, ..., pwj menons alors w lignes partageant l'aire comprise entre les courbes C, G^ en w cases contenant chacune un point p et un seul; enfin prenons ces lignes pour bases de surfaces cylindriques droites qui couperont la surface de Riemann suivant jjl =: nnv sections.
Les rétrosections n'altérant pas l'ordre de la surface, nous
C) Un plan peut être considéré comme une sphère de rayon infini. L. — Traité d'Analyse, IV. 24
n'en tiendrons pas compte. Mais toutes les coupures, sections et rétrosections étant faites, la surface de Riemann est remplacée par des morceaux détachés : le premier cylindre a détaché ni — i morceaux, le second en a détaché m, les autres cylindres ont détaché des morceaux dont nous allons compter le nombre. Supposons qu'il s'agisse des morceaux qui, en projection, contiennent le point p/, nous aurons m — Ri feuillets séparés plus ni feuillets réunis, en tout m—ni-\-\ morceaux; le nombre total des morceaux sera donc
V =z m ■+■ m — i-f- ^ ( m — n/ H- 1 ) = ( (p -1- 2 ) /?i -h iv — 1 — \ n.
Or, en vertu du théorème I du paragraphe précédent,
N = [X — V + 2 ; donc
N = mwp' — {w -^ 1) m — (v-hi-h \ ji -f- '2
ou
N = ^/ï — 2/?l — tV + 3. C. Q. F. D.
Ce raisonnement tombe en défaut quand deux points de ramification viennent à se confondre ou, plus exactement, viennent à se placer l'un au-dessous de l'autre. Mais, si l'on observe que le nombre N ne change pas en tordant un peu la surface de Riemann, de manière que les points de ramification, d'abord projetés sur le même point, viennent se projeter en des points différents, on verra sans peine que les conclusions précédentes sont toujours exactes. D'ailleurs ce cas ne se présentera jamais dans ce qui va suivre. La fonction
peut être représentée sur une surface d'ordre
Nous allons maintenant nous occuper de la construction de
ÉTUDK DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 871
la surface de Rieniann, sur laquelle on peut représenter une fonction algébrique donnée. Pour cela, il est nécessaire de revenir un instant sur le mode de représentation de Gauchy.
V VI. — Types simples de fonctions algébriques que l'on peut se borner à considérer dans la théorie des intégrales abéliennes.
Supposons que
soit l'équation algébrique qui définit la fonction jk, qui entre dans une intégrale abélienne. On peut toujours supposer que la courbe représentée par l'équation (i) n'a pas de points multiples à tangentes confondues; car, si elle avait de tels points, on pourrait les faire disparaître au moyen d'une série de transformations quadratiques, transformations qui remplaceront l'intégrale abélienne par une autre de même nature (p. 78).
Les points singuliers dey ne sont plus alors des points de ramification. En faisant subir à la courbe (i) une transformation homograpliique, on peut toujours faire en sorte que les tangentes parallèles à l'axe des x aient avec la courbe un contact du premier ordre; une pareille transformation change l'intégrale abélienne en une autre intégrale abélienne, dans laquelle la fonction algébrique y n'a que des ramifications simples, c'est-à-dire est telle que deux seulement de ses valeurs se permutent autour d'un même point critique; enfin, on peut toujours faire en sorte, au moyen de cette môme transformation homograpliique, que le point à l'infini ne soit pas critique. Ainsi, une fois pour toutes, dans ce qui va suivre, nous supposerons que les fonctions algébriques que nous aurons à considérer :
1° N'ont pas de points critiques à V infini; 2" Autour de Leurs divers points de ramification, deux valeurs seulement de la fonction se permutent entre elles.
iVII. — Systèmes de lacets d'un polygone.
Soit j^ une fonction algébrique de x qui ne présente plus que des ramifications simples et à distance finie. Soient a^, rtoj ' ' "I ^w ces ramifications, que nous supposons rangées dans un ordre quelconque. Appelons Xq un point à partir duquel nous ferons varier x, et qui sera la limite inférieure des intégrales abéliennes que nous aurons à considérer.
Joignons successivement les points a,, a^, ..., a^^ au mojen de lignes droites ou courbes, assujetties seulement à ne pas se couper, à former un polygone fermé «<, «2, . . ., rt,^ que nous appellerons le polygone G relatif à Tarrangement aj, a-y^ ..., a^^, qui contiendra dans son intérieur le point Xq.
Formons ensuite un système de lacets ayant leur entrée et leur sortie en Xq et leurs points critiques respectivement en a^y a^i . •., ciw Nous assujettirons ces lacets (qui pourront avoir leurs bords courbes ou rectilignes) ; 1° à ne pas se couper mutuellement; 2'^ à ne point sortir du polygone G, si ce n'est dans la partie circulaire qui entoure les points critiques. Ge système de lacets sera dit relatif au polygone G. Nous appellerons 7acef ai celui dont le point critique est ai.
Supposons la fonction y d'ordre m et soient y\, y^^ • • • •> y ni ses diverses valeurs en ^o- Si l'on part de Xq avec la valeur initiale y^ de y, et si l'on parcourt le lacet a/, on reviendra en général en Xq avec la valeur initiale àe y^\ alors le lacet <:// est dit inactif. Mais il peut arriver aussi que l'on revienne au point Xq avec une valeur jKv dejK différente àe y^^ le lacet est alors actif et l'on dit qu'il unit ou permute les valeurs y^ et j^v de y, on dit aussi que le point ai unit ou permute ces valeurs. 11 va sans dire que les valeurs de y permutées par un lacet changent avec la forme affectée par les bords de ce lacet, quand les anciens et les nouveaux bords comprennent entre eux des points critiques.
^ VIII. — Lacets fondamentaux, groupes de ramifications.
Appelons j^, une valeur quelconque dey en œ^. Cette valeur se permute avec une autre autour d'un certain lacet ai] car, si yt ne se permutait avec aucune autre valeur de y,yi serait monodrome et l'équation algébrique définissant y ne serait pas irréductible. Soit j^2 ^^ valeur avec laquelle se permute yi autour du lacet «/; mettons de côté tous les autres lacets (s'il y en a) unissant j^, ely2'
Désignons par a/ un lacet unissant j^i ou JK2 à une autre valeur j^3 de y (et il en existera une au moins, sans quoi yi el y2^ se permutant exclusivement, seraient racines d'une équation algébrique irréductible); mettons aussi de côté tous les autres lacets unissant jki ou y.y èiy^, soita/fUn lacet unissant j/",,j/2 ou y^ à une nouvelle valeur ^4 dey^ et ainsi de suite. Les lacets ai, aj, a^, ..., à l'aide desquels on peut passer dej^i àjKwj choisis comme il vient d'être dit, forment ce que l'on appelle un système de lacets fondamentaux.
Nous dirons que des lacets ou des ramifications forment un groupe, lorsqu'ils unissent les deux mêmes valeurs dey et qu'il n'existe pas d'autres lacets ou d'autres ramifications unissant les mêmes valeurs dey. Le groupe formé des lacets qui permutent jK/ etj/y sera désigné par G/y.
Un groupe qui contient un lacet fondamental sera ce que nous appellerons un groupe fondamental.
Nous remarquerons, au sujet des lacets fondamentaux :
1° Qu'il existe toujours un lacet fondamental permutant y i avec une valeur de y d'indice moindre.
Ces lacets ayant été fournis de manière à passer de y^ à toutes les valeurs de y prenant des indices croissants.
2° On peut toujours passer de la valeur y p quelconque à lavaleur y q au moyen de lacets fondamentaux , à l'exclusion de tout autre lacet.
En clTet, au moyen de lacets fondamentaux, on permutera yp successivement avec des valeurs d'indice moindre et l'on
tombera sur^, ; en parcourant ensuite la suite naturelle des lacets fondamentaux, on finira par tomber surjK,/, puisque les lacets en question sont choisis de manière à atteindre toutes les valeurs de y.
La route que nous avons suivie pour passer de yp à y g ne sera pas toujours la seule que l'on puisse suivre, et l'on conçoit qu'il ne soit pas nécessaire de descendre jusqu'à l'indice i pour atteindre l'indice q.
n( IX. — Effet produit par un changement de forme du polygone G.
Supposons que l'on ait formé le polygone des ramifications comme il a été expliqué au § VII, et désignons par a,, «25 <^35 . » . , c^w ses sommets successifs qui sont les (v points de ramifications de la fonction^ que nous supposons toujours d'ordre m.
Chacun des lacets que l'on peut former en prenant pour
Fig. i5.
origine le point Xq et pour point critique l'un des points a^, «2, . . . , a^^,, sans sortir du polygone G, comme il a été expliqué au § VII, permute deux valeurs bien déterminées de y, mais ces valeurs dey dépendent de la forme donnée au polygone C, ou plus exactement de l'ordre dans lequel on range ses sommets «, , «2? • • • ? (^w) parce qu'alors la forme des lacets change complètement.
C'est ce que nous nous proposons d'examiner en détail.
ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. SyS
Permutons d'abord deux sommets consécutifs; à cet effet, imaginons qu'au lieu de joindre «/, à ai on joigne ai^ à a/.,., et qu'ensuite on joigne «/^, à a/ puis à a/^.2, et ainsi de suite, comme auparavant. On formera un nouveau polygone C, et à ce nouveau polygone correspondront de nouveaux lacets. Nous supposerons, une fois pour toutes, que le côté a/, a/+, est intérieur au polygone C, quea/<2/^2 lui est extérieur; enfin ^i<^i+i pourra lui être soit intérieur, soit extérieur, mais en tout cas ^0 sera intérieur à C comme à C. Dans Isi/ig. i5, le polygone C est en traits pleins. G' en traits discontinus.
Les lacets, relatifs aux points «i, «25 •••5 <^/-i5 <^fi+i, •••, (^w, n'ayantpasnécessairementchangé de forme, unissent toujours les mêmes racines; mais le lacet ai a changé de forme : sa nouvelle forme dans \difig. 16 est tracée en traits pleins, son ancienne forme en traits discontinus, et, en déformant le nouveau lacet ai^ on voit qu'on le ramène aux anciens lacets parcourus successivement
les lignes composées de traits et de points sont les côtés du
Fiff. 16.
li'i'i // «i-i
Il 1 //
polygone G'. Il résulte de là qu'en appelant a, [i, y, 0 quatre entiers quelconques différents, et au plus égaux à in : 1° Si, primitivement,
ai+i permutait ^a et y^,
ai Jy et jKS,
maintenant a, permute y-^ et /g;
2" Si, primilivement,
«/+i permutait j"a et y^,
(fi rp et jKy.
maintenant ai permute j'a et jy ;
3" Si, primitivement,
<T/H i permutait j-^ et j^^,
«/ JKa et jK|3,
maintenant a/ permute jKa et j^j^;
en d'antres termes, ai unit les mêmes racines dans G eL G , si ai et ai^s unissaient les mêmes raeines ou des racines toutes différentes. Il unirait des racines diff'érentes dans G et G', si, dans G, ai et ai^i unissaient des racines dont une seulement appartient aux deux lacets, alors ai dans CJ unirait les racines non communes.
En tout cas, un lacet cjui rétrograde unit toujours les mêmes racines. C'est le lacet cjui avance quiseulpeut unir des racines différentes de celles quil unissait avant de changer de place.
1/ X. — Théorème de M. Lûroth.
Lemme I. — On peut toujours former le polygone des ramifications, de manière que ses sommets soient dans un ordre tel, que les lacets correspondant à ces sommets donnent lieu aux groupes successifs
Gl2j Gl3, ..., Gl,;,, G2,3, ..., G/;i l ,„,
dont quelques-uns peuvent manquer.
En effet, prenons pour premier sommet un poinl unissant y\ Gty25 1g polygone étant d'ailleurs formé d'une façon arbitraire; considérons alors un autre sommet unissant j^i Ql y^^ faisons rétrograder ce sommet par le procédé indiqué au paragraphe précédent pour le placer le second, d'après la remarque faite dans ce paragraphe, il unira toujours j', ^^ y-i-
Prenons un troisième sommet unissant jki gI y.27 faisons-le rétrograder pour le mettre à la troisième place, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ne trouve plus de sommets nouveaux unissant j>^, à yo- Faisons ensuite rétrograder de la même façon les sommets unissant jki àj^a? pour les placer à la suite de ceux qui unissent yi à j^2> en nous réservant de placer toujours en tête, s'il s'en forme de nouveaux, les sommets unissant^, etjK2; plaçons à la suite des sommets unissant j^, àj'3 ceux qui unissent j^< et j^j, et ainsi de suite; nous arriverons ainsi à former les groupes successifs
Gn, Gi3, ..., Gi;„, G23, ..., Gm i,„,
dont quelques-uns évidemment pourront manquer.
Lemme il — Ces groupes Gjo, Gi3, ... coiiliennent chacun un nombre pair de lacets^ et par suite le nombre total des lacets est pair.
Pour le prouver, décrivons la série totale des lacets successivement, ce qui revient à décrire un lacet ayant le centre de son cercle à l'infini; l'infini n'étant pas critique, le point décrivant reviendra en x^ avec la valeur initiale de y\ mais, si le groupe G,2 contenait un nombre impair de lacets en partant de x^ avec la valeur initiale jk<, on reviendrait, après avoir parcouru le groupe G,2, avec la valeur Vo 5 les groupes Gi3, G,',, . . ., G,^ seraient inactifs, et, comme les groupes suivants ne permutent jki avec aucune autre valeur de y^ on ne saurait, après avoir parcouru les lacets restants, revenir en Xç^ avec la valeur initiale y^ : ainsi le groupe G<2 contient un nombre pair de lacets.
Je dis que G< 3 contient aussi un nombre pair de lacets. En effet, partons toujours avec la valeur initiale jr» dej^; on parcourt le premier lacet de Gi3 avec la valeur initiale j^i de 7, puisque G4 2 contient un nombre pair de lacets, et, si Gi3 contenait un nombre impair de lacets, on terminerait le parcours du groupe G) 3 avec la valeur j^3 de y. Les groupes
G,/,, .. ., G,;„ seraient inactîfs et les suivants ne sauraient ramener la valeur initiale j^,, leurs lacets ne permutant cette valeur avec aucune autre. G,3 a donc un nombre pair de lacets: on verrait de même que Gi/,, G<5, ... ont un nombre pair de lacets.
Lemme III. — Oïl peut ranger les sommets du polygone des ramifications dans un ordre tel que les lacets successifs donnent lieu aux groupes G i o, Gi 3, . . . , (jm-\,m écrits dans un ordre cjuelconque.
En effet, je dis qu'en permutant un lacet avec un groupe (ou, si l'on veut, un sommet avec un groupe de sommets), on ne modifie pas l'effet de ce lacet ni celui des lacets du groupe. Pour le démontrer, supposons que le lacet /permute yi etjKyet que les lacets /', /"permutent j^^ et jk^, les chemins composés de /, /', l" on de /', /", / auront le même effet que /, car l'effet de l' , H' est nul; et, comme le nombre des lacets d'un groupe est pair, l'effet de la permutation d'un lacet avec un groupe contigu et, par suite, d'un groupe avec un groupe contigu est nul; il en résulte que l'effet de la permutation de deux groupes quelconques est nul aussi, et que l'on peut supposer les groupes placés dans un ordre quelconque.
Lemme IV. — Etant donné un groupe qui ne permute pas y^^ avec une autre valeur de y^ on peut toujours remplacer son indice le plus élevé par un indice moindre.
En effet, soit (j\^ un groupe dans lequel on peut supposer |i.>>l> i; parmi les groupes fondamentaux il y en a un (p. 3^3) permutant jK[x avec une autre valeur de jk d'indice moindre^/; soit G/u, ce groupe; plaçons la suite des groupes dans l'ordre
• • • > ^i[Xj ^Xtj.j • • • 5
remplaçons le groupe G/j^ par une suite H de lacets permutant j^/ el y^ et par un lacet / de même nature, on pourra
remplacer l'arrangement précédent par
mais, en permutant le lacet / et le groupe Gxjx, on ne change pas l'effet de ce groupe et de ce lacet ; l'arrangement considéré produira donc le même effet que le suivant :
Faisons alors rétrograder le lacet / pour le placer successivement avant chaque lacet de Gx^x, son effet ne sera pas changé ; mais les lacets de G\^ permuteront alors i et a, et l'on aura un nouvel arrangement
..., II, /, Ga, ... ou ..., Gi^, G/x, ...;
on a donc remplacé le groupe donné Gxix par un autre ayant un indice commun et un indice moindre.
Lemme V. — On peut supposer tous les groupes affectés de r indice i .
Car un groupe peut toujours être remplacé par un autre ayant un même indice et un indice moindre, quand l'un de ses indices n'est pas l'unité.
Lemme VI. — Si un groupe contient plus de deux lacets, on peut supprimer deux lacets dans un groupe et augmenter un autre groupe de deux lacets.
En effet, considérons deux groupes Gxj/, et Qpq et supposons que Gpq contienne plus de deux lacets; on pourra toujours passer du groupe Qpq au groupe Gxj;,, à l'aide d'autres groupes ayant en commun un indice, à savoir G^^, G^^, . . . , G„[j,, et il suffira de prouver que l'on peut faire passer par exemple deux lacets d'un groupe Gqr dans un autre Qpq ayant un indice commun avec lui.
Décomposons (jqr en deux parties, l'une H^,- et l'autre con-
tenant deux laeets /', /"; en plaçant les groupes Gpq^ Gqr l'un à côté de l'autre, on aura l'arrangement
Faisons avancer les lacets /', l" successivement, de manière à les placer après le premier lacet /de Gpq : au lieu de permuter jq etjv, ils permuteront jK/7 et yr', le premier lacet / ayant rétrogradé permute toujours yp et yq] si on le remet à sa place, /' et f permuteront toujours yp et y,., et l permutera successivementjK^ etyr^ yp etyq. On obtiendra ainsi l'arrangement
• • • j ^*qr', ^ ? t j ^pfji ' ' '
de tout à l'heure, à cela près que l' et H' permutent j^^ et yr. Faisons maintenant passer /' et F avant le dernier lacet /, de H^;-, / permutera alors yp etjTr, puis de nouveau yq et jv; enfin, remettons /' et i' en place, de manière à obtenir de nouveau l'arrangement
. . . , tiq,., l , l , ^pqi • ' • 1
l et U permuteront y^ ^^Yq • ^Is pourront alors être censés faire partie du groupe Gpq- En résumé, G^^ se réduira à un groupe H^^ contenant deux lacets de moins, et Qfpq à un groupe contenant deux lacets de plus; de là découle le théorème suivant de M. Liiroth :
Théorème. — Etant donnée une fonction algébrique y d'ordre m, on peut toujours passer d'une valeur à une autre de cette fonction^ en construisant ses iv lacets de manière qu'ils soient distribués suivant m — i groupes, le premier formé de w — i{m — 2) lacets permutant y^ et y 2, les m — 2 autres contenant chacun deux lacets permutant y^ avec une des autres valeurs de y ; ces autres racines étant les mêmes pour un même lacet et différentes pour des lacets différents.
En effet, en vertu du lemme V, on peut supposer les lacets en groupes Gi2, G<3 . . . , Gi^^ portant tous l'indice i, et, en
ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 38l
vertu du lemme VI, on peut supposer que G|2 contienne iv — 2(m — 2) lacets; G,3, Gi3, ... en contenant chacun deux seulement, puisque l'on doit forcément laisser deux lacets dans chaque groupe.
Ainsi se trouve établi le théorème de M. Lûroth, qui est capital dans la théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales. [F^oir Clebsch, Mathematische Aniialen, t. VI, etLïjROTH, ici., t. IV).
y/ XI. — Construction d'une surface de Riemann pour une fonction algébrique d'ordre m.
Supposons que, pour la fonction r d'ordre m, on ait construit un groupe fondamental de lacets G,2, G13, . . ., G\m^ le premier contenant ^v — i[jn — 2) lacets et les autres deux lacets seulement, w désignant le nombre total des lacets, ce qui est permis d'après ce que l'on a vu tout à l'heure.
On construira une surface de Riemann de la façon suivante; on supposera ni plans sur chacun desquels on attachera une valeur déterminée de y. Soient a,, a^-, . . ., a^ les points critiques unissanty< ^ y^'i on joindra a^ a^, a^a^^^ a^aa, .... Suivant ces lignes (tracées de manière à ne pas se couper), on établit des lignes de passage le long desc[uelles on soude les plans relatifs àjKi etyo- En second lieu, on établit des lignes de passage entre les plans relatifs kyi etj^3, à y^ et y^, ... ; ces lignes de passage étant respectivement tracées entre les points critiques qui unissent yi àjKa, J'i à y,, . . ., ces lignes étant tracées, bien entendu, de manière à ne pas se couper.
Toutes les fois que le point x chemine sans franchir une ligne de passage, il reste sur le même feuillet de la surface de Riemann, et, quand le point x revient au point de départ, il y revient avec la même valeur de y.
Toutes les fois que le point x franchit une ligne de passage, on suppose qu'il passe sur le feuillet soudé à celui qu'il vient de quitter.
Tout cela revient bien à dire que, quand le point x décrit un contour fermé enveloppant deux points critiques unissant les deux mêmes racines, il revient au point de départ avec la même valeur de y^ et que, quand il contourne un point critique, il revient avec la valeur que permute ce point critique.
Appelons feuillet i, 2, 3, ... le feuillet sur lequel on représente JK<, j>'27 y-i-) ... ; si nous passons un couteau entre les feuillets i et 2, i et 3, . . . , i et f — i, i et t !^^ .V.V -h) I et m, et, si nous coupons les communications entre les plans, le feuillet i restera seulement uni au feuillet ï, et il est facile de voir qu'il forme avec ce feuillet une surface monadelphe, si, bien entendu, l'on suppose que l'on ne tienne pas compte des ouvertures faites en coupant les communications; une surface de Riemann à deux feuillets et à deux ramifications étant d'un ordre adelphique égal à un.
Ceci posé, nous allons chercher à rendre la surface de Riemann monadelphe.
vl XII. — Système canonique des sections.
On peut rendre monadelphe la surface de Riemann considérée tout à riieure au moyen d'un système de sections dites canoniques, et que l'on forme comme il suit :
Laissant de côté les points de ramification qui unissent les feuillets 3, 4, •• •? ''^ ^^ feuillet i, appelons a,, «o, ^3, «4, «5, ^c, «7, Ci^ les points de ramification qui unissent jKi et jk^; soient a^a.2.^ a^a,,^ a^a^^ UtU^ les lignes de passage correspondantes marquées en traits — ; établissons sur le feuillet n** I trois rétrosections r enveloppant les lignes de passage a^a^i a^a,, et a-^a^,^ ces rétrosections /' ont la forme elhptique (^). Toujours sur le feuillet n^ i traçons des sections s allant de chaque rétrosection elliptique à la suivante; enfin établissons un dernier système de sections o- allant, sur la
(») Le mot elliptique ici n'est pas employé; bien entendu, clans le sens qu'on lui attribue dans la théorie des sections coniques.
de p
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^} , VI que, quatm n coi avec îa vnlonr nue perm.
!e (eaili is passe -, . ^ ' -' i— ,, , ,-.
scoupo: iicalipnsen
(juillet I restera seulement uni au feuillet voir qu'il forme avec ce f " " •■ien ent^'ndtî. Ton citinp -
j loui a 1 liourc a|ï
' jfiùjues, et quel^K
lissant de côté les
soient a.^a.y^ ci^(i\-) o , "arquées trois rétrosectioiis ,
, a-xCi,. et ag«oj ces .
iijours sur le feuillet chaque rélrosection elliptiq
employ*:
vr'<-rirn-. .
feuille n^ i et sur la feuille n° 2, d'une des lignes de passage rtjrto, «3^4, ^5^6 à la ligne de passage a-,a<^. Ce système de sections a rendu notre surface monadelplie, son contour est unique, et il est facile de constater qu'il ne se
coupe pas et qu'il est fermé, en le suivant tout du long et en découpant la figure suivant les lignes qui y sont tracées.
Le système de sections qu'il a fallu pratiquer pour rendre la surface monadelphe se compose :
1" Des rétrosections /• au nombre de (m — 2) — i ;
•>.'' Des sections s au nombre de — — (m — 2) — 3'^ Des sections 1 au nombre de {m — 2) — i .
iii nombre de (m — 2) — 2, mais la première rétrosec-
Les rétrosections r forment avec les sections s des sections
tion peut être considérée comme une section allant d'un des bords de la surface de Riemann à l'autre, ces bords étant ceux d'une ouverture infiniment petite; on a donc en tout
w — •i{in — 2 ) — 2
sections à faire. En général,
^désignant le nombre des points doubles dey, alors ce nombre des sections à faire est
OU
p désignant le genre de j^.
On voit que le nombre des sections r est /?, ainsi que le nombre des sections o-.
^XIII. — Sur une propriété des fonctions algébriques.
Soit S une surface de Riemann sur laquelle on peut représenter la fonction algébrique y définie par V équation
irréductible ; toute fonction u nionodronie sur cette surface S, ne possédant pas de points essentiels^ est nécessairement une fonction rationnelle de x et de y.
Une démonstration très simple consiste à remarquer que
les fonctions u et y étant représentées sur la même surface el u étant algébrique, puisque les fonctions symétriques de ses valeurs sont rationnelles en x\y et u sont de même genre /:>, puisque ip est pour l'une et l'autre fonction le nombre de coupures à faire pour rendre la surface S monadelphe ; u est donc fonction rationnelle de x et y.
Mais, pour effacer l'impression extraordinaire que ce genre de démonstration, auquel on n'est pas habitué, peut laisser dans l'esprit, nous donnerons une autre démonstration, due à M. Briot. On peut énoncer le théorème que nous voulons démontrer comme d suit :
li tant donnée l'équation algébrique entière cV ordre m, y(^, y) = o, toute fonction u de x et y qui, pour un même système de valeurs de x et y, n'admet qu'une seulevaleur et qui n'a pas de points essentiels, est fonction rationnelle de X et y.
La fonction u en question est algébrique, en vertu d'un théorème connu ; il reste à prouver qu'elle est fonction rationnelle de X et de j/. A cet effet, désignons par u^^ u-i^ . . . , Um les valeurs de la fonction u el y^^y^, . - -^ym celles dey. posons
2 Uiyï -pï, . . . , 2 uiy?'^ = Pm-\ .
Les fonctions /?o, /?i, ... sont rationnelles en x, et de ces équations du premier degré en z^,, u^, . . ., Um on déduira f^i, U'2, ..., u,n\ on sait résoudre ces équations et l'on a symboliquement
L àyt \
formule dans laquelle il faut remplacer, après le développe- L. — Traité d'Analyse, IV. 20
386 ciiAPiTRi: XI.
ment de - — '-^ ? les exposants de p par des indices. On en conclut
p—y ' ày
Telle est l'expression de la fonction u au moyen de x et y.
4 XIV. — Extension des théorèmes de Cauchy.
En général, une fonction u possédant les mêmes ramifications que la fonction algébrique y de x pourra être considérée comme monodrome sur la surface de Riemann propre à représenter la fonction y. Si nous la supposons monogène, finie et continue, excepté en des points isolés qui pourront être des infinis ou des points essentiels, elle jouira de propriétés analogues aux fonctions que l'on peut représenter sur le plan de Cauchy.
Une telle fonction peut toujours être regardée comme une fonction monodrome et monogène de .2? et dey; en effet, le raisonnement que nous avons fait au paragraphe précédent est encore applicable au cas actuel, à cela près que les quantités Pq-) P\i Pi") • . • ne sont plus des fonctions rationnelles de X, mais de simples fonctions monodromes et monogènes.
11 en résulte que, dans le voisinage d'un point de ramification a^ la fonction u est susceptible de se développer sui-
vant .les puissances de i^x — a)^', ]x désignant un entier au plus égal à Tii (dans le cas qui nous occupe, et où la fonctions^ n'a que des ramifications simples, |Ji = 2). En posant X — a=Ç, la fonction u deviendra donc monodrome par rapport à Ç dans le voi&inage du point Ç = o sur le plan de Cauchy.
Le théorème de Cauchy, en vertu duquel
(( U intégrale d'une fonction monodrome, monogène, finie et continue à U intérieur d^ un contour Q prise le long de ce contour est nulle y^^
€St encore vrai si le contour G est tracé sur une surface de Kiemann servant à représenter la fonction algébrique y; il n'y a rien à changer à la démonstration donnée plus haut pour le cas où le contour G est tracé sur un plan de Gauchy.
Les corollaires du théorème de Gauchy sont encore applicables aux fonctions monodromes sur la surface de Riemann.
Proposons-nous d'évaluer l'intégrale
1 ro'(z)dz
prise le long d'un contour fermé tracé sur une surface de Riemann, limitant une aire monadelphe G.
Si cette aire G ne contient pas de ramifications, l'intégrale sera égale à N — jN', N désignant le nombre des zéros, N' le nombre des infinis de ^(^)- Supposons que l'aire G renferme des ramifications; considérons en particulier l'une d'elles a.
La fonction o(g) est, dans le voisinage de a, une fonction
monodrome et monogène de (s — a)^, [j. désignant un entier (égal à 2 dans les cas qui vont nous occuper), et o(z)^ dans le voisinage du point a, pourra se mettre sous la forme
{z-af^z), 8(5) n'étant ni nul ni infini pour z ^= a; ainsi l'on aura
l'intégrale
o{z) QC-s) [f. z — a'
prise le long d'un contour fermé autour de la ramification,
sera égale à
^ \ r dz
ou, en posant :î = a H- 'Cy-^
!-*• 2 TC s/ — I J '^
l'intégrale étant prise cette fois sur le plan de Caucliy le long d'un contour fermé, tournant une fois autour de l'origine, ce qui donne tout simplement v.
On peut donc dire que :
L'intégrale
dz
ou bien
représente la quantité ^v, v désignant l'ordre de multiplicité d'un zéro quelconque de cp(^) dans Faire monadelphe le long du contour de laquelle l'intégrale est prise.
(L'ordre de multiplicité d'un zéro a de la fonction o{z) étant l'ordre de multiplicité de la fonction monodrome dans laquelle on la transforme en posant ^ =: a -h Çf^, \l désignant le nombre des valeurs de cp qui se permutent autour du point a.)
Enfin, pour l'exactitude de l'énoncé, il faut considérer les infinis comme étant des zéros d'un ordre de multiplicité négatif.
^ XV. — Classification des intégrales ahéliennes.
Soit
(i) y --^ j o{x, y)dx
une intégrale abélienne, y désignant la fonction algébrique définie par l'équation irréductible de degré m
ou, en introduisant la variable z pour l'homogénéité,
Nous ferons, pour abréger,
J'-dx' ^'-dy' J'-'ùz' ■'''-dx'^' f • à^^f f ^^/'
Effectuons une transformation liomographique, et posons
■de manière que la courbey*=o n'ait pas d'asymptotes parai lèles aux: axes et qu'il existe un terme en r,'" et un autre en ^"^ dans Téquation. Soit F ce que devient /après la transformation et <ï> ce que devient o, nous aurons
{adl — hdy^-A-c dl){a"^ -f- b"ri + c'Q
(a"^-f-6"r)+c"Çr-
en posant alors
A = cb" — bc",
B = ac" — ca",
G = ba" — ab\ il vient
''^^" {a"'^^b"-ri-i-c'X)^
Or on a
et, par suite,
'ndl — tdr^ X,d\ — ldl Idr^—r^dl F, ~ tS " F3 ^
si l'on désigne par p chacun de ces rapports, on trouve
, AFi+BF2-^CF.,
dx — j—^ jj, -ir^T- p.
{a"^-^b"'fi-hc"Q '
Or, en faisant Ç = i, c/Ç = o, on voit que
df] __ d^ ç di] ~ r\ d^
Nous prendrons p = „^ , et V prendra la forme
BF^-^CF., d^ b"'r^-^cX,f F2'
Sgo CHAPITRE XI.
Dans cette formule, le degré de <t est zéro, ceux de F^ , F2, F;^. sont m — I ; donc 011 peut supposer
le degré de M étant supérieur de m — 3 unités à celui de N.
Cette formule est susceptible de nouvelles réductions; appelons n le degré de N, celui de M sera m -\- n — 3.
On peut, comme l'on sait, déterminer des polynômes G
et H, tels que
