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Q désignant un polynôme du degré m — 2 en x ely (et même, si l'on veut, de degré m — 3 en ^), G une fonction de y seul, a et [jt. des constantes dont la seconde est entière et positive. Nous allons étudier successivement ces deux formes.
XVI. — Intégrales de première et de seconde espèce. Q étant un polynôme entier en x et jk de degré m — 2,
rQd^
est une intégrale abélienne de première ou de seconde espèce, suivant qu'elle reste finie ou peut devenir infinie. Le polynôme Q, étant de degré m — 2, contiendra
coefficients, et le nombre total des intégrales distinctes de pre-
mière et de seconde espèce sera précisément égal à ce nombre.
Or, si nous supposons : i'' que y ne soit jamais infini,
même pour :r = co; 2" que deux valeurs seulement de y se
permutent autour d'un point critique, ~ "^ deviendra pas
infini, si ce n'est en un point pour lequel/o = o ; car le degré de /2 est supérieur à celui de Q. Or, si /o = o, deux cas peuvent se présenter :
i^ Le point a, b, pour lequeiya = o est un point ordinaire où l'on n'a pasy*4 = 0; y est de la forme
A, B, ... désignant des constantes. Mais alors on a
f{^^ r)=/i^"^ — <^)-+- - [fn{x — ^y
et
ou bien
h{^, y) = /i2(^ — cl) -4-/22(7 — b)
M, N, . . . désignant de nouvelles constantes dont la première n'est pas nulle si l'on suppose y22<o, c'est-à-dire si l'on suppose que deux valeurs de y se permutent autour du point
a, b. -^ est alors infini, mais l'intégrale / -i dx reste finie,
c'est-à-dire de première espèce.
2" Si nous supposons que le point (a, b) soit un point singub'er, alors /"i, /"o sont nuls tous deux; le point [a, b) n'est
plus en général critique, fo n'est plus de l'ordre -5 mais bien
de l'ordre un. L'intégrale considérée devient infinie, elle est de seconde espèce.
De là résulte que :
Si la courbe f ^= o Ji^a pas de points multiples, il y aura ^^ intégrales de première espèce, pas d intégrales de seconde espèce.
ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. SgS
En général, si la courbe /= o a o points doubles, il y aura 0 intégrales de seconde espèce et
intégrales de première espèce. Ainsi :
Le nombre des intégrales abéliennes de première espèce auxquelles donne lieu une fonction algébrique est égal au genre de cette fonction.
Il y a donc toujours des intégrales de première espèce, car nous écartons les fonctions algébriques de genre o, lesquelles ne fournissent pas, à proprement parler, d'intégrales abéliennes.
