XVII. — Intégrales de troisième espèce

Les intégrales de troisième espèce sont de la forme

Q{y)dx

{x — a)V'fi{x,y)

«lies se ramènent au type

r G(y)dx J {x — a)f^Xâ>;y)'

au moyen de différentiations relatives à a. Nous généraliserons un peu ce type, et nous considérerons les intégrales de la forme

G désignant un polynôme entier en x e\. y de degré m — 2,

et a,x -{- ^jy -\-y une fonction linéaire. Soient {x^, y^)^ (•^25 y 2)^ • • • 1 {^m^ y m) les coordonnées des points d'intersection de/= o et c/.x -{- ^y 4- v = o; par ces points, excepté par Xiyi et ^2jK2, faisons passer une courbe d'ordre m — 2,

qui passe aussi par les points singuliers de/= o, nous l'assujettissons ainsi à moins de

(m — I U /n — 2 ) ( m — iMm -\-^^

conditions ; et, par suite, ces conditions peuvent être remplies par une courlje d'ordre ni — i qui peut précisément être

assujettie a conditions.

Soit Gi2 = o la courbe en question, comme /"=: o n'est pas unicursale, Gio renfermera d'ailleurs au moins un paramètre arbitraire. Soit de même Gii = o une courbe d'ordre m — 1 passant par les points doubles de j^= o et ses intersections avec a.x -{- py-f-y^o, excepté par x>, y^ et x^^ yi, .... Considérons la courbe

G -h X2G12 -î- X3G13 H- . . .-^ XmGi„î = o;

on peut déterminer les constantes lo^ ^3' • • • , de telle sorte que cette courbe passe par (^2> JK2) • • • {^m, ym)', comme elle est de degré m — 2 et qu'elle passe par m — i points en ligne droite, elle se décompose en olx ^- ^y-{-j = o et en une courbe ù = o d'ordre m — 3 ; ainsi Ton a identiquement

alors

G H- X2G12 -^. . .^ X,„Gi;„ =- Û(aa7 -r~ ^y -^ 7) ou

G = 0(a^-l-Pj-HY:)-X2G,2-...->vuGi;,,.

Si Ton porte cette valeur de G dans (1), on voit que cette intégrale générale de troisième espèce se décomposera en une intégrale de première espèce et en d'' autres de troisième espèce, telles que

r Qdx

J (aa7-t-[3jK-+-T)/2'

îi' ayant plus que deux infinis x^ et x^.

Nous allons encore préciser davantage. Appelons ç,, r, ,, ^,

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. SqS

et Ç25 '12) Ç2 les deux points où l'intégrale de troisième espèce

devient infinie; ces deux points sont situés sur la droite

aa? -+- p^ H- Y ~o, dont nous écrirons l'équation sous la forme

^1 TQl Cl I =0 OU 2±a77]iC,. ^2 '^2 ^2 1

On peut représenter un point ^,y, z de cette droite par les équations

^ = ^l-^^^2. 7 = Tni+^^2, -2=Cl-^^C2,

et alors, en appelant PB l'émanant -^ ^2

dO

on aura

Enobservantque/'(ç,,7i,, Ç, )et/(i2r^2j Ç2) sont nuls, l'équalion aux intersections de/ 1=0 et de la droite (2) sera

P/+iPV + .-.-o.

Cette équation doit avoir les mêmes solutions que

G(^l-^- 1^2, iQi-^ t'n^, Ci-^ ^^2) =0 OU que

G(Çi,-rii, Çi)-i-PG-i-i-P2G-i-...+ G(^2, r,2, Ç2)=o; donc on aura

Nous prendrons dorénavant pour type de notre inté-

grale de troisième espèce U expression

(j{x, y)dx

(j[Xj y) = o sera une courbe de degré m — 2 passant par tous les points singuliers de f=o et par m — 1 des points oà S ±1^711^2 rencontre f=o; les points ?,, Tji, Ç, et ^2? 712) ?2 seront les seuls points de rencontre de f^= o et de S ± ^71, Ç2 />«'' lesquels elle ne passera pas.

On a vu que

Calculons les résidus de la quantité placée sous le signe / . Le résidu relatif k x = ^^ sera

or

2 ± 37711 ^2 ^^ (^ — ^1 )(tQi — 712) — (JK — "ÎQl )(.li — Ç2)

et

donc

(vil— ^;2)t- -^(^1 — ^2) <,-

L'expression (5) se réduit alors à

(■^1 — ^i c'est-à-dire à

G(^l, 71,,Çl)

àf r àf

injiiciiiL au uciiuiimiciLcur ^|

en vertu de (4),

ajoutant et retranchant au dénominateur Ç, --- z= Ç2 -jf"' ^^ ^j

W(;i, ^15 Cl)— G^çi, 7)1, Cl)' c'est-à-dire — i .

Ainsi V intégrale de troisième espèce prise le long (T an cercle infiniment petit décrit autour de l'un de ses infinis sera — 2 7ry — i pour le point ç, et -\- iiz^' — i pour le point Ço-

Si la courbe y=o n'est pas unicursale, il y aura toujours au moins une intégrale abélienne de troisième espèce ayant deux infinis donnés. Ces infinis déterminent la droite

ax-j-Pj + Y ou ^±377)1^2 = 0; •

la courbe de degré m — 2, G := o est assujettie alors à passer par les points doubles de /"= o et par les m — 2 intersections de la droite en question et de/=: o. Ces conditions, comme nous l'avons vu, ne la déterminent pas complètement et on peut l'assujettir encore à

; (w — 2) — 0 = ^-^ t =p condit.