XVIII. — Propriétés des intégrales de troisième espèce

Le théorème bien connu d'Abel nous apprend que, si tn = o représente une courbe algébrique de degré m -h i, TOo la dérivée de m relative k y et F un polynôme de degré m — • 2, on a

. . \^ F(^/, yi)dxf

Xi et y/ désignant les intersections de tu = o avec une courbe algébrique quelconque ^ = o. Appliquons cette formule au

cas où / ~ dx est une intégrale de troisième espèce aux infi-

SgS CHAPITRE XI.

nis ^, et Ço » supposons alors que F = o passe par les intersections de/= o et ^' = o et que

^=fg-> ^==^±^-^1^2,

uous aurons

dm r r

et pour X =^ Xi

Au contraire, pour x = x'j, en appelant x'j Gty'j les intersections (le ^- = o avec 6 = o, il viendra

^2 ^ fgi ; (i) devient alors

Nous allons transformer la seconde somme; à cet effet, nous observerons que F = o passe par les intersections de /"= o et g=^o et que g2 est une constante numérique. Désignons [)Our un instant par ax -\- b les valeurs de y tirées de ^ = o, ¥[x, ax 4- b) divisera /(x, ax + ^), et l'on aura

(3) f{x, ax -V- b) = {x — \x){x — Ç2)F(^, ax -\- h)\,

A désignant un facteur numérique que nous déterminerons en prenant la dérivée des deux membres par rapport à x^ ce qui donnera

-^ — h -:— a — ix — \i)Y ix , a X -\- h) k -^ iii. dx dy \ -> j \ 1 /

Cl) désignant des termes nuls pour ^^= ^,. Si l'on fait alors X = 5, on a

mais F( 5, , 7] , ) est égal a ^2 ^ + '^2 ^^ 4- Î2 ^ et a = -^-^' donc

T^(fci— ;2)-^ -TT (-^1 — 102)

^/ , ^/ , y àf\ ai- ^.2)''

d'ailleurs

€n vertu de (3), on aura alors

et, par suite, la formule (2) deviendra

Supposons maintenant la fonction à de la forme o,H-Xc3o, cp, et 02 désignant des polynômes entiers de degré m à coefficients constants ; les xi et les ^ • seront fonctions de \ et, en faisant varier ). de o à 00, on aura

mais, en observant que

est, à un facteur près, égal au polynôme en ^< qui a pour racines les abscisses d'intersection de o, -^Xcpo avec la droite o r= o, on tirera

Ç2(bj ■^2)?i(^i, •ni)

Cette équation est l'expression de l'une des formes du théorème d'Abel. Elle montre que la somme des intégrales abéllennes de troisième espèce obtenues enprenantpour Limites inférieures les intersections de f ■=^ o e^cpi ^=0, et pour limites supérieures les intersections de f^=- o e^ cpo = o, peut s^ exprimer au moyen des logarithmes des fonctions o^ et cpo pour les valeurs des variables qui rendent infinies les intégrales de troisième espèce.

XIX. — Sur les valeurs multiples des intégrales abéliennes de première espèce.

Soit Xq un point déterminé du plan, J^/^, jko? • • • , Jm les valeurs de la fonction algébrique y en ce point; évaluons la valeur de l'intégrale abélienne de première espèce

Q( ce, y')dx

A cet efTet, construisons d'abord le système des lacets dont il est question dans le théorème de M. Liiroth (p. 3-6) iv — 2 (m — 2) lacets permutent^, etyo i les 2 (m — 2) lacets restants se décomposent en m — i groupes de deux lacets permutant le premier groupejKi etjru, ... ; le (m — jy^me^ y^ etjK„i.

Tout chemin d'intégration allant de Xq k x se ramène à des lacets pris parmi ceux que nous venons de considérer et à un chemin déterminé XqX^ que nous appellerons le chemin direct, et cela par une déformation continue qui ne lui fait franchir aucun point critique. Par conséquent, en appelant toujours a<. «2 5 • • • , <^w les points critiques et zh(rt<), ±i{a2). ..., it:(<2^) les intégrales prises le long de ces lacets, la valeur la plus générale de V sera de la forme

Vi, Vo. . • . , V/« désignant les valeurs de V prises le long du chemin direct XqX^ en prenant pour valeurs àc y en Xq^ respectivement y < ,^2, . . . , y-ju et en désignant par a une somme de termes, tels que ±[a^)^ ±(«0), .... Mais cette expression Yi-\- a peut se simplifier.

Tous les lacets permutant la valeur àe y^ avec une autre, nous adopterons le signe -f- devant [at) pour indiquer qu'il est parcouru avec la valeur initiale y^ de y. Il résulte de cette convention que deux lacets actifs parcourus successivement seront affectés de signes contraires, et la valeur la plus

ÉTUDE DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 4oi

générale de V sera, en prenant r, pour valeur initiale,

(i) («/) — (ay) + (aA) — ...-i-V/i,

Il désignant un des nombres i , 2, 3, . . . , m.

Les différences (a/) — («y) peuvent s'exprimer linéairement au mo} en des seules différences

(a,) — («2), («1) — («3), •••, («1) — («iv),

que nous pouvons appeler So? ^3? • • - ? ^.vî ^^ outre, on a

{ai) = {a^) — {{a^) — {ai)^ = {ax)—zr,

en appelant alors S une somme de termes de la forme £27 £3, . . . , l'expression (i) se réduira aux types

S + Vi, E+(ai) + V/.

Nous nous attacherons surtout à l'étude du premier type et à l'évaluation de la somme S, que l'on appelle une période de l'intégrale.

Une première simplification résulte de ce que, si l'on considère un groupe G^- dans lequel />>2, on peut faire abstraction des lacets de ce groupe dans l'évaluation d'une somme S. En effet, supposons qu'il entre dans cette somme une intégrale prise le long d'un lacet permutant jki avec yt^ nous ne pouvons revenir en Xq pour décrire le chemin direct XqX avec la valeur initiale y^ qu'après avoir parcouru un second lacet permutant j/-< el yi; si c'est le même lacet, la seconde intégrale détruira la première; si c'est l'autre lacet du groupe, je dis que lia seconde intégrale détruira encore la première; en effet, partons avec la valeur initiale j/^ et décrivons successivement les lacets des groupes successifs

G12, Gi3, ..., Gi,-, ..., Gi,„,

tous les lacets seront inactifs, jusqu'à ceux du groupe G^-. A la sortie du groupe G^, ^ aura la valeur y/ et les groupes suivants seront inactifs, mais l'intégrale totale engendrée par ce contour est équivalente à l'intégrale prise autour d'un L. — Traité d'Analyse, IV", 26

4o2 CHAPITRE XI.

lacet ayant le centre de son cercle à l'infini; elle est donc nulle. L'effet des lacets de G^' est donc de fournir une intégrale nulle quand on les décrit avec la valeur initiale yi^ et par suite aussi quand on les décrit avec la valeur initiale j^i î on peut donc faire abstraction de tous les groupes, excepté du groupe Gi2, quand il s'agit d'évaluer une période S.

Mais alors la valeur de l'intégrale prise avec la valeur initiale j^i le long du même contour Gi2, Gi3, ..., (j\m sera égale à zéro; or elle est aussi égale à

q désignant le nombre des points critiques permutanty< etj^2 î cette somme peut s'écrire

Il existe donc, entre les périodes (a<) — (a/) en fonction linéaire et à coefficients entiers desquelles on peut exprimer toutes les autres, une relation linéaire et à coefficients entiers ; donc enfin les périodes S sont de la forme

mitoi-}- W2W2H-. . .H- m^2Wy 2,

/ni, m^i ... désignant des entiers et w,, too, ... des périodes particulières.

On a d'ailleurs

q = w — i{m — 1) = ip -\- 1,

p désignant le genre dey, ce dont on s'assure en observant que w = m(m — i) — 2S (p. 67). On a donc q — 2 == 2/?, et le nombre des périodes au moyen desquelles on peut exprimer S est 2p.