XX. — Choix d'un système de périodes

Nous avons vu tout à l'heure que l'on pouvait exprimer une période quelconque, linéairement, au moyen des périodes (a,) — («2), («<) — («3)? • • • ; mais on peut choisir les pé-

riodes en fonction desquelles on exprime toutes les autres d'une façon plus avantageuse.

Construisons la surface de Rlemann relative à la fonction^ , comme il a été expliqué (p. 38 1) ; pratiquons le système canonique de sections et reportons-nous à \difig. 17, qui représente ce système canonique.

Appelons A/ l'intégrale V prise le long de la rétrosection r qui enveloppe les points ai et «z+o

A/ = (a/) — (a/+i) = (ai) — («1) — [(«/+i) — («1)] :

Ki est une période ; appelons B^ l'intégrale de V prise le long de la section o- qui traverse la ligne de passage ataij^^, B/ sera également une période.

Il faut prouver que l'on a

J 2 = -f- mi Al -H mg A3 + . . . + map-i Aajo-i

( -l-7llBi 4-/1363 +...4- /Z2;,lB2;,-l,

m,, 7722, .%., ^0 ^2> ••• désignant des nombres entiers. C'est ce à quoi l'on arrive en montrant qu'une période telle que (a,) — {ai) est de la forme précédente. Or on a

Ai = (ai) — (û^a),

ou, en posant, pour abréger, (a,) — (a/) = q,

Al

As

-Cs

Celles de ces équations qui contiennent lesB donnent immédiatement ^2/7+1, C3, C5, ..., C2p-if les autres donnent C2. C/,, ..., Cip'j les périodes Ci={ai) — (ai) sont donc exprimables sous la forme (i), et il en est de même d'une période quelconque S.

4o4 CHAPITRE XI.

Je suppose maintenant {^fig. 17) que le point x décrive dans le sens direct le contour de la surface de Riemann rendue monadelphe en partant du point 0 avec la valeur de y qu'il aurait s'il se rendait de Xq en 0 sans traverser de coupure. Proposons-nous de calculer la différence des valeurs de V des deux côtés d'une même coupure; cette différence est évidemment constante, puisque dN y a des valeurs égales.

Supposons que nous soyons arrivés au point a; si, cheminant dans le sens direct, nous marchons jusqu'en (3, l'accroissement subi par l'intégrale V est l'intégrale relative à la seconde section o- ou B3 : donc la différence des valeurs de V à gauche et à droite de la seconde rétrosectiou r est B3.

Supposons, en second lieu, que l'on décrive en partant de ^ la seconde rétrosection r, on arrivera en y avec l'accroissement A3 de V; donc la différence des valeurs de V à gauche et à droite de la seconde section o- est A3.

Enfin, il est clair que V a la même valeur à gauche et à droite de la section s. *

En général :

A gauche et à droite d^une section r ou o-, V prend des valeurs qui diffèrent entre elles par la valeur de V pris le long de la section a ou r qui la coupe. A gauche et à droite d'une section s,\ a les mêmes valeurs.

XXI. — Relations entre les périodes de deux intégrales de première espèce.

On sait que la fonction y donne lieu à p intégrales distinctes de première espèce ; soient Vi^ et V^ deux quelconques d'entre elles que nous supposerons toujours engendrées avec la même valeur initiale de y et en suivant le même chemin; nous désignerons par af\ A.f\ B^-^' les valeurs que prennent aij A/, Bi quand à l'intégrale quelconque dont nous nous sommes occupés plus haut on substitue Vi^, et par dy\ A^^', B^y^ les valeurs que prennent a/. A/, B^ quand à V on substi-

tue V^. Considérons l'intéfifrale

r\\id\^v = — TY'^dYV'

prise tout le long du contour de la surface de Riemann rendue monadelplie, cette intégrale est nulle; on a donc

Wi-dV^ = o.

L'intégrale en question se décompose en d'autres prises chacune deux fois, le long de chaque section, r, o- ou 5, tantôt dans un sens, tantôt dans le sens contraire. Le long d'une section 5, V^ prenant des valeurs égales, les intégrales se détruisent et l'on peut faire abstraction de ces sections.

Le long de la section r qui entoure les points ao^-i? <^2o Vh- prend des valeurs différant de Bl|^,; cette section apporte

alors à l'intégrale / Yv-dV^ le contingent

BÏ-,""-!>T!-,<i-,

puisque cette intégrale est prise le long de la rétrosection r en question. On verrait de la même façon que le contingent apporté par la section o- qui coupe la section /' que qous venons de considérer est — Af|^'B^^\^; de sorte que l'équation (A) devient

la sommation étant étendue à tous les nombres impairs i depuis I jusqu'à 2/? + i.

Telle est la relation remarquable qui lie entre elles les périodes de deux intégrales abéliennes de première espèce, dans laquelle on peut aussi supposer les indices i égaux à i, 2, 3, ...,/?, en changeant de notation et en appelant A,, A2, ..., A^, B<, ..., Bp les intégrales prises le long des sections r et s. C'est ce que nous ferons dans la suite.

4o6 CHAPITRE XI.