XXIII. — Propriété remarquable des périodes normales

La propriété que nous allons démontrer n'est pas un théorème simplement curieux ; elle servira de base à tout ce qui va suivre. Soient /i, , n-^-, . . ., rip des entiers quelconques, laij les périodes normales; la partie réelle de

est négative.

Soient, en effet, v^, ^2-, - * • ■> Vp les intégrales normales de première espèce ; soit

V = TixVi-^ n^v^-^-. . .-^ npVp = li-^- \J — i Y.

Evaluons l'intégrale

pour toute la surface de Riemann : cette intégrale est positive; elle est égale, en vertu du théorème de Riemann qui nous a servi à étabUr le théorème de Cauchy sur l'intégrale d'une fonction prise le long ^'un contour fermé, à

OU à celle de l'intégrale simple

prise le long du contour de la surface rendue monadelphe, et à une intégrale double, nulle en vertu de la relation

or la valeur de l'intégrale simple qui est positive est facile à évaluer.

Si nous appelons a'/\ a\l\ ... les intégrales / dX prises

4o8 CHAPITRE XI.

le long des sections /-; a'-^~, af\ ... les intégrales / dlL prises le long des mêmes contours; b\^\ b.-^^\ ... les intégrales / dY prises le long des sections o-; b\^\ b[p, ... les intégrales / </K prises le long des mêmes contours, nous

trouverons, en raisonnant comme on l'a fait quand il s'est agi de trouver une relation entre les périodes des intégrales de première espèce,

Mais a^/^-i- ^J-* V~ ^ ^^ af^ + 6J-' y/— i sont les périodes de V = X H- Y y/ — I; les a^^' sont nuls, les 6J^' sont égaux à des multiples de 2ti: : donc

mais les aj^' sont de la forme

( ni aji -+- riçi aj^ -h ...-}- Up ajp ), donc

/ Y dX = — ^ TC ^ ^ji ^i ^J '■)

donc, comme / Y dlL est essentiellement positif, il est bien démontré que la partie réelle de2,^ij^i^j est négative.